İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 48, 34, 10, 41, 34.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 178 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 20x = 178

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,2 olasılıkla €30, 0,02 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€30: p = 0,2€100: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9808 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9808

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

6 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 5,4 ve standart sapması 6,2. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6d̄ = 5,4s_d = 6,299%t(5) = 4,032

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,8 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,01 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,8E = 0,0199%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 80,25, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 80,25s = 10n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 504,8. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 504,8σ = 10n = 1690%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,31

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 167/5 = 33,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 14,6² + 0,6² + (−23,4)² + 7,6² + 0,6² = 819,2

Standart sapma

s = √(819,2/4) = 14,31

Cevap

s = 14,31

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (178 − 170)/20 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,6475

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Varyans

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Cevap

Var(X) = 0,6475

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −2 €

Net sonuçlar

G: 20 (p = 0,2), 90 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Beklenen değer

E(G) = 20·0,2 + 90·0,02 − 10·0,78 = −2 €

Cevap

E(G) = −2 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = −2,07

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9808 = 0,0192

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0192 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −2,07

Cevap

z = −2,07

6.Normal dağılım

Cevap: x = 22,13 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

x’e geri dönüş

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Cevap

x = 22,13 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 10,21 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 5, t = 4,032

Hata payı

E = 4,032·6,2/√6 = 10,21

Cevap

E = 10,21 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 10618

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,8·0,2/0,01² = 10617

Yukarı yuvarlayın

n = 10618

Cevap

n = 10618

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,1

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Test istatistiği

t = (80,25 − 75)/2,5 = 2,1

Cevap

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 500,7

Hata payı

E = 1,645·10/√16 = 4,112

Aralık sınırı

L = 504,8 − 4,112 = 500,7

Cevap

L = 500,7

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9829

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 183/5 = 36,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 443,2

Belirlilik katsayısı

r² = 132²/(40·443,2) = 0,9829

Cevap

r² = 0,9829

y’deki değişimin yaklaşık %98,29’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 26,19

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 147/6 = 24,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5

Regresyon doğrusu

b = −29,5/17,5 = −1,686

a = 24,5 − (−1,686)·3,5 = 30,4

ŷ = 30,4 − 1,686·x

Tahmin

ŷ = 30,4 + (−1,686)·2,5 = 26,19

Cevap

ŷ = 26,19

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1