Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 37, 23, 55, 14, 49, 54.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 108 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 100σ = 8x = 108
z =
3.OlasılıkOrta
Bir torbada 8 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?
8 / 6
P =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,3, 0,15, 0,2, 0,2Y = −2X − 3
σY =
5.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 16 tanesinin toplam kütlesinin 1336 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1336 kg
P =
6.Normal dağılımZor
Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 54 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 53,5 h, bilinen standart sapma 13 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 54 hσ₁ = 4 hn₂ = 40x̄₂ = 53,5 hσ₂ = 13 h95%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 20E = 399%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 100 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 63 mm ve hattın bilinen standart sapması 9 mm. Hat 2: 100 parçalık bir örneklemin ortalaması 64 mm, bilinen standart sapması 8 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 63 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 100x̄₂ = 64 mmσ₂ = 8 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 10 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 82,9’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 82,9σ = 10n = 100α = 0,10
β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 18
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 246/7 = 35,14
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−21,14)² + 1,857² + (−12,14)² + 19,86² + (−21,14)² + 13,86² + 18,86² = 1987
Standart sapma
s = √(1987/6) = 18,2
Cevap
s = 18,2
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (108 − 100)/8 = 1
Cevap
z = 1
3.Olasılık
Cevap: P = 0,3077
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Birinci ve ikinci çekiş
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
Cevap
P = 0,3077
4.Olasılık
Cevap: σY = 2,757
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 3, Var(X) = 1,9, σX = 1,378
Doğrusal değişim
σY = |−2|·1,378 = 2,757
Cevap
σY = 2,757
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·3 − 3 = −9.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6915
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
Standartlaştırın
z = (1336 − 1360)/48 = −0,5
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Cevap
P = 0,6915
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7389
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Cevap
P = 0,7389
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 4,604 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 53,5 = 0,5
Standart hata
SE = √(4²/100 + 13²/40) = 2,094
Hata payı
E = 1,96·2,094 = 4,104
Aralık
0,5 ± 4,104 → [−3,604, 4,604]
Cevap
üst sınır = 4,604 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 295
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·20/3)² = 294,9
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 295
Cevap
n = 295
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −0,8305
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(9²/100 + 8²/100) = √1,45 = 1,204
Test istatistiği
z = (63 − 64)/1,204 = −0,8305
Cevap
z = −0,8305
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 5,283 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 80 + 1,282·1 = 81,28
Gerçek ortalama altında z
z = (81,28 − 82,9)/1 = −1,618
II. tip hata
güç = P(Z > −1,618) = 94,72%
β = 100% − 94,72% = 5,283%
Cevap
β = 5,283%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9884
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 269/6 = 44,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 201
Syy = Σ(y − ȳ)² = 590,8
Korelasyon katsayısı
r = 201/√(70·590,8) = 0,9884
Cevap
r = 0,9884
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 108
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 569/5 = 113,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 234
Regresyon doğrusu
b = 234/40 = 5,85
a = 113,8 − 5,85·19 = 2,65
ŷ = 2,65 + 5,85·x
Tahmin
ŷ = 2,65 + 5,85·18 = 108
Cevap
ŷ = 108
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1