İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
2530354045505560

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 45, 50, 60, 52, 21, 27, 45.

n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 160,4 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 8x = 160,4
z =
3.OlasılıkOrta
xp(x)00,320,1540,360,25μ = 3

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,15, 0,3, 0,25
σ =
4.OlasılıkZor
€p(x)−30,6890,3570,02

Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,3 olasılıkla €12, 0,02 olasılıkla €60 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €3€12: p = 0,3€60: p = 0,02
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
750 g745,1 gX + Y?

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 745,1 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 65x = ?10%

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 10%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
n = 25, s = 18,5LUx̄ = 109,5E = ?95%

25 birimlik bir örneklemin ortalaması 109,5 ve standart sapması s = 18,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 25x̄ = 109,5s = 18,595%t(24) = 2,064
E =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Anakütle standart sapması 24. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 24E = 190%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,06402,064

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 498,6, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 498,6s = 4n = 25
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −2,57602,576

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 118,3. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 118,3σ = 5n = 3699%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy124222321416518xy2420

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 101Σx² = 55Σy² = 2081Σxy = 285
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy1878219524107271313015133159xy202530100150ŷ = 86

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 86 tahmin eder?

n = 6ŷ = 86
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,95

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 300/7 = 42,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2,143² + 7,143² + 17,14² + 9,143² + (−21,86)² + (−15,86)² + 2,143² = 1167

Standart sapma

s = √(1167/6) = 13,95

Cevap

s = 13,95
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,2

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (160,4 − 170)/8 = −1,2

Cevap

z = −1,2
3.Olasılık

Cevap: σ = 2,324

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,25 = 3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,25 = 14,4

Varyans

Var(X) = 14,4 − 3² = 5,4
σ = √5,4 = 2,324

Cevap

σ = 2,324
4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1,8 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 9 (p = 0,3), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,68)

Beklenen değer

E(G) = 9·0,3 + 57·0,02 − 3·0,68 = 1,8 €

Cevap

E(G) = 1,8 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6915

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915
6.Normal dağılım

Cevap: x = 52,18 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 65 + −1,282·10 = 52,18 puan

Cevap

x = 52,18 puan
7.Güven aralıkları

Cevap: E = 7,637

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Hata payı

E = 2,064·18,5/√25 = 7,637

Cevap

E = 7,637
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1559

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·24/1)² = 1559

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1559

Cevap

n = 1559
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,75

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Test istatistiği

t = (498,6 − 500)/0,8 = −1,75

Cevap

t = −1,75
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 120,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·5/√36 = 2,147

Aralık sınırı

U = 118,3 + 2,147 = 120,4

Cevap

U = 120,4
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,8911

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 285 − 15·101/5 = −18
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2081 − 101²/5 = 40,8

Korelasyon katsayısı

r = −18/√(10·40,8) = −0,8911

Cevap

r = −0,8911
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 19,49

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 721/6 = 120,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 895,5

Regresyon doğrusu

b = 895,5/157,5 = 5,686
a = 120,2 − 5,686·25,5 = −24,82
ŷ = −24,82 + 5,686·x

x için çözün

x = (86 − (−24,82))/5,686 = 19,49

Cevap

x = 19,49

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1