Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 23, 43, 55, 36.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 80 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 50σ = 15x = 80
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
σ =
4.OlasılıkZor
Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 5p = 0,2k = 1
P =
5.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 76,75 ile 107,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 76,75x2 = 107,5
P =
6.Normal dağılımZor
1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 102,5 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 107,5 h, bilinen standart sapma 20 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 102,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 107,5 hσ₂ = 20 h90%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 17E = 0,595%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 493,7, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 500x̄ = 493,7s = 20n = 49
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 201,7. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 201,7σ = 4n = 1690%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (25,5, 74) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(25,5, 74)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,09
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 204/5 = 40,8
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 6,2² + (−17,8)² + 2,2² + 14,2² + (−4,8)² = 584,8
Standart sapma
s = √(584,8/4) = 12,09
Cevap
s = 12,09
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (80 − 50)/15 = 2
Cevap
z = 2
3.Olasılık
Cevap: σ = 0,8367
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Varyans
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
σ = √0,7 = 0,8367
Cevap
σ = 0,8367
4.Olasılık
Cevap: P = 0,4096
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 1) = 5·0,21·0,84 = 5·0,2·0,4096 = 0,4096
Cevap
P = 0,4096
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6309
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (76,75 − 100)/15 = −1,55
z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5
Aradaki alan
P = Φ(0,5) − Φ(−1,55) = 0,6915 − 0,06057 = 0,6309
Cevap
P = 0,6309
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/10 = −1
Olasılık
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 0,906 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 102,5 − 107,5 = −5
Standart hata
SE = √(17²/100 + 20²/40) = 3,59
Hata payı
E = 1,645·3,59 = 5,906
Aralık
−5 ± 5,906 → [−10,91, 0,906]
Cevap
üst sınır = 0,906 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 4441
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·17/0,5)² = 4441
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 4441
Cevap
n = 4441
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,205
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 20/√49 = 20/7 = 2,857
Test istatistiği
t = (493,7 − 500)/2,857 = −2,205
Cevap
t = −2,205
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 203,3
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·4/√16 = 1,645
Aralık sınırı
U = 201,7 + 1,645 = 203,3
Cevap
U = 203,3
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9701
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 104/5 = 20,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32
Syy = Σ(y − ȳ)² = 108,8
Korelasyon katsayısı
r = −32/√(10·108,8) = −0,9701
Cevap
r = −0,9701
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 2,948
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 361/6 = 60,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 571,5
Regresyon doğrusu
b = 571,5/157,5 = 3,629
a = 60,17 − 3,629·22,5 = −21,48
ŷ = −21,48 + 3,629·x
Tahmin edilen değer
ŷ = −21,48 + 3,629·25,5 = 71,05
Artık
e = 74 − 71,05 = 2,948
Cevap
e = 2,948
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1