İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 42, 22, 56, 41, 43, 26, 55.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 79 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 15x = 79

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1

Var(X) =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9722 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9722

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %85 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

12 birimlik bir örneklemin ortalaması 113,5 ve standart sapması s = 7,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 12x̄ = 113,5s = 7,590%t(11) = 1,796

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 30. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 30E = 499%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 500 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 32 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 495,44. H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ ≠ 500 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 500σ = 32n = 64x̄ = 495,44H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 5 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 80%δ = 5σ = 20z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 25Σy = 408Σx² = 135Σy² = 33810Σxy = 2109

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 14 tahmin eder?

n = 6ŷ = 14

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 285/7 = 40,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,286² + (−18,71)² + 15,29² + 0,2857² + 2,286² + (−14,71)² + 14,29² = 1011

Standart sapma

s = √(1011/6) = 12,98

Cevap

s = 12,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (79 − 70)/15 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 3,55

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,8

Varyans

Var(X) = 9,8 − 2,5² = 3,55

Cevap

Var(X) = 3,55

4.Olasılık

Cevap: P = 0,5767

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Toplayın

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Cevap

P = 0,5767

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,2

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9722)/2 = 0,9861

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9861 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,20

Cevap

z = 2,20

6.Normal dağılım

Cevap: x = 170,7 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,15

Tablodan z

z ≈ −1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 1,04·7 = 170,7 cm

Cevap

x = 170,7 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 109,6

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Hata payı

E = 1,796·7,5/√12 = 3,888

Aralık

113,5 ± 3,888 → [109,6, 117,4]

Cevap

alt sınır = 109,6

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 374

n'yi çözün

n = (2,576·30/4)² = 373,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 374

Cevap

n = 374

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,2543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (495,44 − 500)/4 = −1,14

Kuyruk alanı

Φ(1,14) = 0,8729

1 − Φ(1,14) = 0,1271

p-değeri

p = 2·0,1271 = 0,2543

Cevap

p = 0,2543

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 161

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 0,842)·20/5)² = 160,6

Yukarı yuvarlayın

n = 161

Cevap

n = 161

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9594

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 2109 − 25·408/5 = 69

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 33810 − 408²/5 = 517,2

Korelasyon katsayısı

r = 69/√(10·517,2) = 0,9594

Cevap

r = 0,9594

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,539

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 97/6 = 16,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

Regresyon doğrusu

b = −36,5/17,5 = −2,086

a = 16,17 − (−2,086)·3,5 = 23,47

ŷ = 23,47 − 2,086·x

x için çözün

x = (14 − 23,47)/(−2,086) = 4,539

Cevap

x = 4,539

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1