Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 21, 59, 53, 59.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 110'ün üstündedir?
μ = 100σ = 10x = 110
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,2, 0,35, 0,2, 0,1
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 11p = 0,1k = 5
P =
5.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 95,5 ile 103 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 95,5x2 = 103
P =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 100 puanσ = 15 puan15%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 40 telefon, ortalama 138 h, bilinen standart sapma 6 h. Model 2: 50 telefon, ortalama 147,5 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 40x̄₁ = 138 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 147,5 hσ₂ = 4 h99%
alt sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0495%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 121,26. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ > 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 120σ = 18n = 144x̄ = 121,26H₁: μ > μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 12. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 12E = 0,590%
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 21Σy = 133Σx² = 91Σy² = 2993Σxy = 438
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 71) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(7, 71)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 16,28
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 249/5 = 49,8
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 7,2² + (−28,8)² + 9,2² + 3,2² + 9,2² = 1061
Standart sapma
s = √(1061/4) = 16,28
Cevap
s = 16,28
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,1587
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1
Standart normal tablo
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Cevap
P = 0,1587
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,39
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,35 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,9
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,35 + 16·0,2 + 25·0,1 = 9,8
Varyans
Var(X) = 9,8 − 2,9² = 1,39
Cevap
Var(X) = 1,39
4.Olasılık
Cevap: P = 0,002455
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 5) = 462·0,15·0,96 = 462·1 × 10⁻⁵·0,5314 = 0,002455
Cevap
P = 0,002455
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,1972
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3
z₂ = (103 − 100)/15 = 0,2
Aradaki alan
P = Φ(0,2) − Φ(−0,3) = 0,5793 − 0,3821 = 0,1972
Cevap
P = 0,1972
6.Normal dağılım
Cevap: x = 115,6 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,85
Tablodan z
z ≈ 1,04
Özgün birimlere geri dönüş
x = 100 + 1,04·15 = 115,6 puan
Cevap
x = 115,6 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −12,35 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 138 − 147,5 = −9,5
Standart hata
SE = √(6²/40 + 4²/50) = 1,105
Hata payı
E = 2,576·1,105 = 2,845
Aralık
−9,5 ± 2,845 → [−12,35, −6,655]
Cevap
alt sınır = −12,35 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 601
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,96²·0,5·0,5/0,04² = 600,2
Yukarı yuvarlayın
n = 601
Cevap
n = 601
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,2005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5
z = (121,26 − 120)/1,5 = 0,84
Kuyruk alanı
Φ(0,84) = 0,7995
1 − Φ(0,84) = 0,2005
p-değeri
p = 0,2005
Cevap
p = 0,2005
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 1559
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·12/0,5)² = 1559
Yukarı yuvarlayın
n = 1559
Cevap
n = 1559
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9818
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 438 − 21·133/6 = −27,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2993 − 133²/6 = 44,83
Korelasyon katsayısı
r = −27,5/√(17,5·44,83) = −0,9818
Cevap
r = −0,9818
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 4,167
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 401/6 = 66,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 317
Regresyon doğrusu
b = 317/70 = 4,529
a = 66,83 − 4,529·7 = 35,13
ŷ = 35,13 + 4,529·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 35,13 + 4,529·7 = 66,83
Artık
e = 71 − 66,83 = 4,167
Cevap
e = 4,167
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1