İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 52, 20, 24, 23, 16.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 88'ün altındadır?

μ = 70σ = 12x = 88

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,25, 0,1, 0,2, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 5. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1Y = 10X + 5

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,1357 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,1357

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 68 ve standart sapması s = 18. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 20x̄ = 68s = 1899%t(19) = 2,861

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 6. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 6E = 299%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 50 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 24 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 53,52. H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ ≠ 50 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 50σ = 24n = 144x̄ = 53,52H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 123,3. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 123,3σ = 5n = 1695%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 105Σy = 483Σx² = 2295Σy² = 48733Σxy = 10572

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 2

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,32

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 135/5 = 27

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 25² + (−7)² + (−3)² + (−4)² + (−11)² = 820

Standart sapma

s = √(820/4) = 14,32

Cevap

s = 14,32

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,479

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,2 + 5·0,3 = 3,25

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,2 + 25·0,3 = 12,75

Varyans

Var(X) = 12,75 − 3,25² = 2,188

σ = √2,188 = 1,479

Cevap

σ = 1,479

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 10,14

X’in yayılımı

μ = 2,15, Var(X) = 1,028, σ_X = 1,014

Doğrusal değişim

σ_Y = |10|·1,014 = 10,14

Cevap

σ_Y = 10,14

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,15 + 5 = 26,5.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,1

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,1357 = 0,8643

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8643 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,10

Cevap

z = 1,10

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8554

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02828 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,02828 = −1,06

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,06) = 0,8554

Cevap

P = 0,8554

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 11,52

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Hata payı

E = 2,861·18/√20 = 11,52

Cevap

E = 11,52

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 60

n'yi çözün

n = (2,576·6/2)² = 59,72

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 60

Cevap

n = 60

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,07841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (53,52 − 50)/2 = 1,76

Kuyruk alanı

Φ(1,76) = 0,9608

1 − Φ(1,76) = 0,0392

p-değeri

p = 2·0,0392 = 0,07841

Cevap

p = 0,07841

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 125,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·5/√16 = 2,45

Aralık sınırı

U = 123,3 + 2,45 = 125,8

Cevap

U = 125,8

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9927

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 10572 − 105·483/5 = 429

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 48733 − 483²/5 = 2075

Korelasyon katsayısı

r = 429/√(90·2075) = 0,9927

Cevap

r = 0,9927

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 55,15

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 377/5 = 75,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270

Regresyon doğrusu

b = 270/40 = 6,75

a = 75,4 − 6,75·5 = 41,65

ŷ = 41,65 + 6,75·x

Tahmin

ŷ = 41,65 + 6,75·2 = 55,15

Cevap

ŷ = 55,15

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1