İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 41, 33, 30, 11, 45.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 30'ün altındadır?

μ = 50σ = 20x = 30

P =

3.OlasılıkOrta

10 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 10k = 2

N =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,1 olasılıkla €9, 0,02 olasılıkla €60 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €3€9: p = 0,1€60: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 246,25 ile 254,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 246,25x₂ = 254,25

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %75 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 1,3. Aynı çalışma bunun yerine 128 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?

99%n₁ = 64E₁ = 1,3n₂ = 128

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 7. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 7E = 195%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 116,8, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 116,8s = 10n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 54,6. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 54,6σ = 12n = 4999%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,19

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 160/5 = 32

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 9² + 1² + (−2)² + (−21)² + 13² = 696

Standart sapma

s = √(696/4) = 13,19

Cevap

s = 13,19

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: N = 45

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Cevap

N = 45

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −0,9 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 6 (p = 0,1), 57 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)

Beklenen değer

E(G) = 6·0,1 + 57·0,02 − 3·0,88 = −0,9 €

Cevap

E(G) = −0,9 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5757

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75

z₂ = (254,25 − 250)/5 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(−0,75) = 0,8023 − 0,2266 = 0,5757

Cevap

P = 0,5757

6.Normal dağılım

Cevap: x = 173,3 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,25

Tablodan z

z ≈ −0,67

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Cevap

x = 173,3 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 0,9192

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(64/128) = 0,7071

Yeni hata payı

E₂ = 1,3·0,7071 = 0,9192

Cevap

E₂ = 0,9192

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 189

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·7/1)² = 188,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 189

Cevap

n = 189

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,56

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Test istatistiği

t = (116,8 − 120)/1,25 = −2,56

Cevap

t = −2,56

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 50,18

Hata payı

E = 2,576·12/√49 = 4,416

Aralık sınırı

L = 54,6 − 4,416 = 50,18

Cevap

L = 50,18

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9934

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 124/5 = 24,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 22,8

Korelasyon katsayısı

r = −15/√(10·22,8) = −0,9934

Cevap

r = −0,9934

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 16,7

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 94/5 = 18,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

Regresyon doğrusu

b = 84/40 = 2,1

a = 18,8 − 2,1·6 = 6,2

ŷ = 6,2 + 2,1·x

Tahmin

ŷ = 6,2 + 2,1·5 = 16,7

Cevap

ŷ = 16,7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1