İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 43, 29, 48, 12, 18, 55.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 45'ün üstündedir?

μ = 50σ = 5x = 45

P =

3.OlasılıkOrta

8 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 8k = 2

N =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,2 olasılıkla €4, 0,05 olasılıkla €10 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€4: p = 0,2€10: p = 0,05

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9500 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9500

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

12 birimlik bir örneklemin ortalaması 110,5 ve standart sapması s = 18. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 12x̄ = 110,5s = 1895%t(11) = 2,201

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 11 parsel, ortalama verim 43 kg, standart sapma 7 kg. Parsel grubu 2: 10 parsel, ortalama 51 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 11x̄₁ = 43s₁ = 7n₂ = 10x̄₂ = 51s₂ = 6,599%t(19) = 2,861

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

8 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −9,38 ve farkların standart sapması 7,8. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 8d̄ = −9,38s_d = 7,8

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 19. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 95%δ = 3σ = 19z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 36 tahmin eder?

n = 5ŷ = 36

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,45

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 252/7 = 36

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 11² + 7² + (−7)² + 12² + (−24)² + (−18)² + 19² = 1624

Standart sapma

s = √(1624/6) = 16,45

Cevap

s = 16,45

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: N = 28

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28

Cevap

N = 28

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 0,3 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 3 (p = 0,2), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Beklenen değer

E(G) = 3·0,2 + 9·0,05 − 1·0,75 = 0,3 €

Cevap

E(G) = 0,3 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,96

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9500)/2 = 0,9750

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9750 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,96

Cevap

z = 1,96

6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 121,9

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Hata payı

E = 2,201·18/√12 = 11,44

Aralık

110,5 ± 11,44 → [99,06, 121,9]

Cevap

üst sınır = 121,9

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 8,46 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (10·7² + 9·6,5²)/19 = 45,8

s_p = 6,768

Hata payı

E = 2,861·6,768·√(1/11 + 1/10) = 8,46

Cevap

E = 8,46 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,401

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 7,8/√8 = 2,758

Test istatistiği

t = −9,38/2,758 = −3,401

Cevap

t = −3,401

df = 7 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,365; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 633

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 1,645)·19/3)² = 632,5

Yukarı yuvarlayın

n = 633

Cevap

n = 633

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9964

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 124/5 = 24,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 534,8

Belirlilik katsayısı

r² = 146²/(40·534,8) = 0,9964

Cevap

r² = 0,9964

y’deki değişimin yaklaşık %99,64’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 17,03

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 195/5 = 39

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Regresyon doğrusu

b = 124/40 = 3,1

a = 39 − 3,1·18 = −16,8

ŷ = −16,8 + 3,1·x

x için çözün

x = (36 − (−16,8))/3,1 = 17,03

Cevap

x = 17,03

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1