İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 17, 24, 23, 43, 35, 10.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 69'ün altındadır?

μ = 60σ = 15x = 69

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 5

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,4k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 93,25 ile 107,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 93,25x₂ = 107,5

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 100,5 ve standart sapması s = 10. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 11x̄ = 100,5s = 1099%t(10) = 3,169

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 25 milin çaplarının örneklem standart sapması 3,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 24 ile χ² dağılımının %2,5’i 12,401 değerinin altında, %2,5’i 39,364 değerinin üstündedir.

n = 25s = 3,8 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 8 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 251,84. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ > 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 8n = 64x̄ = 251,84H₁: μ > μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 15E = 195%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 42Σy = 63Σx² = 364Σy² = 849Σxy = 552

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 23) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(7, 23)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 152/6 = 25,33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,333)² + (−1,333)² + (−2,333)² + 17,67² + 9,667² + (−15,33)² = 717,3

Standart sapma

s = √(717,3/5) = 11,98

Cevap

s = 11,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7257

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Cevap

P = 0,7257

3.Olasılık

Cevap: P = 0,3182

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Cevap

P = 0,3182

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2787

Binom formülü

P(X = 3) = 56·0,4³·0,6⁵ = 56·0,064·0,07776 = 0,2787

Cevap

P = 0,2787

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3651

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (93,25 − 100)/15 = −0,45

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−0,45) = 0,6915 − 0,3264 = 0,3651

Cevap

P = 0,3651

6.Normal dağılım

Cevap: x = 73,42 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 puan

Cevap

x = 73,42 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 110,1

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Hata payı

E = 3,169·10/√11 = 9,555

Aralık

100,5 ± 9,555 → [90,95, 110,1]

Cevap

üst sınır = 110,1

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 2,967 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 24·3,8² = 346,6

σ² için sınırlar

346,6/39,364 = 8,804

346,6/12,401 = 27,95

σ için sınır

σ = √8,804 = 2,967 µm

Cevap

σ = 2,967 µm

σ için %95 aralık: [2,967, 5,286] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,03288

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 8/√64 = 1

z = (251,84 − 250)/1 = 1,84

Kuyruk alanı

Φ(1,84) = 0,9671

1 − Φ(1,84) = 0,0329

p-değeri

p = 0,03288

Cevap

p = 0,03288

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 865

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,96·15/1)² = 864,4

Yukarı yuvarlayın

n = 865

Cevap

n = 865

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9689

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 552 − 42·63/6 = 111

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 849 − 63²/6 = 187,5

Korelasyon katsayısı

r = 111/√(70·187,5) = 0,9689

Cevap

r = 0,9689

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 5

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 108/6 = 18

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresyon doğrusu

b = 152/70 = 2,171

a = 18 − 2,171·7 = 2,8

ŷ = 2,8 + 2,171·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 2,8 + 2,171·7 = 18

Artık

e = 23 − 18 = 5

Cevap

e = 5

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1