İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
2025303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 40, 23, 19, 57, 19.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 100 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 450'ün üstündedir?

μ = 500σ = 100x = 450
P =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3?4?5?6Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 6
P =
4.OlasılıkZor
n = 9, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789

Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,3k = 5
P =
5.Normal dağılımOrta
25,138P = ?

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 25,1 ile 38 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 38
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 65x = ?97,5%

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
n = 12, s = 8LU = ?x̄ = 75E90%

12 birimlik bir örneklemin ortalaması 75 ve standart sapması s = 8. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 12x̄ = 75s = 890%t(11) = 1,796
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
μ₁ − μ₂, t(29) = 2,0450L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 10 parsel, ortalama verim 88 kg, standart sapma 9 kg. Parsel grubu 2: 21 parsel, ortalama 79,5 kg, standart sapma 4,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 88s₁ = 9n₂ = 21x̄₂ = 79,5s₂ = 4,595%t(29) = 2,045
alt sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,13102,131

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 77,13, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 77,13s = 5n = 16
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −1,9601,96

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 122,2. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 122,2σ = 20n = 8195%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy138244347451556xy244050

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 236Σx² = 55Σy² = 11326Σxy = 751
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy156257362468579xy24607080ŷ = 73

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 73 tahmin eder?

n = 5ŷ = 73
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,64

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 158/5 = 31,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 8,4² + (−8,6)² + (−12,6)² + 25,4² + (−12,6)² = 1107

Standart sapma

s = √(1107/4) = 16,64

Cevap

s = 16,64
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6915

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = −0,5

Standart normal tablo

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915
3.Olasılık

Cevap: P = 0,6651

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Cevap

P = 0,6651
4.Olasılık

Cevap: P = 0,07351

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 126·0,35·0,74 = 126·0,00243·0,2401 = 0,07351

Cevap

P = 0,07351
5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7163

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−1,15) = 0,8413 − 0,1251 = 0,7163

Cevap

P = 0,7163
6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 79,15

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Hata payı

E = 1,796·8/√12 = 4,148

Aralık

75 ± 4,148 → [70,85, 79,15]

Cevap

üst sınır = 79,15
8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 3,587 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

sp² = (9·9² + 20·4,5²)/29 = 39,1
sp = 6,253

Hata payı

E = 2,045·6,253·√(1/10 + 1/21) = 4,913

Aralık

8,5 ± 4,913 → [3,587, 13,41]

Cevap

alt sınır = 3,587 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,704

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Test istatistiği

t = (77,13 − 75)/1,25 = 1,704

Cevap

t = 1,704
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 117,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·20/√81 = 4,356

Aralık sınırı

L = 122,2 − 4,356 = 117,8

Cevap

L = 117,8
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9949

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 751 − 15·236/5 = 43
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 11326 − 236²/5 = 186,8

Korelasyon katsayısı

r = 43/√(10·186,8) = 0,9949

Cevap

r = 0,9949
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,509

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 322/5 = 64,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57

Regresyon doğrusu

b = 57/10 = 5,7
a = 64,4 − 5,7·3 = 47,3
ŷ = 47,3 + 5,7·x

x için çözün

x = (73 − 47,3)/5,7 = 4,509

Cevap

x = 4,509

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1