Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 51, 55, 40, 43, 59, 56.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 72 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 8x = 72
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,05, 0,2Y = 5X − 3
σY =
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 33,3 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 33,3 min
P =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).
μ = 100σ = 15P = 75%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
15 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,5 ve standart sapması 2,7. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 15d̄ = 4,5sd = 2,799%t(14) = 2,977
E = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,02590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
11 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 0,36 ve farkların standart sapması 1,5. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 11d̄ = 0,36sd = 1,5
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 15E = 195%
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 25Σy = 294Σx² = 135Σy² = 17444Σxy = 1509
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 52) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(2,5, 52)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 7,607
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 304/6 = 50,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 0,3333² + 4,333² + (−10,67)² + (−7,667)² + 8,333² + 5,333² = 289,3
Standart sapma
s = √(289,3/5) = 7,607
Cevap
s = 7,607
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (72 − 60)/8 = 1,5
Cevap
z = 1,5
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,54
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,4
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,5
Varyans
Var(X) = 3,5 − 1,4² = 1,54
Cevap
Var(X) = 1,54
4.Olasılık
Cevap: σY = 7,433
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,7, Var(X) = 2,21, σX = 1,487
Doğrusal değişim
σY = |5|·1,487 = 7,433
Cevap
σY = 7,433
Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·1,7 − 3 = 5,5.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,3015
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartlaştırın
z = (33,3 − 32)/2,5 = 0,52
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(0,52) = 1 − 0,6985 = 0,3015
Cevap
P = 0,3015
6.Normal dağılım
Cevap: x = 110,1 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
x’e geri dönüş
x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 puan
Cevap
x = 110,12 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 2,075 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 14, t = 2,977
Hata payı
E = 2,977·2,7/√15 = 2,075
Cevap
E = 2,075 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 1083
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,645²·0,5·0,5/0,025² = 1082
Yukarı yuvarlayın
n = 1083
Cevap
n = 1083
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 0,796
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 1,5/√11 = 0,4523
Test istatistiği
t = 0,36/0,4523 = 0,796
Cevap
t = 0,796
df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 865
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,96·15/1)² = 864,4
Yukarı yuvarlayın
n = 865
Cevap
n = 865
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9849
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1509 − 25·294/5 = 39
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 17444 − 294²/5 = 156,8
Korelasyon katsayısı
r = 39/√(10·156,8) = 0,9849
Cevap
r = 0,9849
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,319
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 347/6 = 57,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26,5
Regresyon doğrusu
b = 26,5/17,5 = 1,514
a = 57,83 − 1,514·3,5 = 52,53
ŷ = 52,53 + 1,514·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 52,53 + 1,514·2,5 = 56,32
Artık
e = 52 − 56,32 = −4,319
Cevap
e = −4,319
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1