İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 37, 41, 16, 17, 44.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 75'ün üstündedir?

μ = 60σ = 10x = 75

P =

3.OlasılıkOrta

12 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 12k = 4

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9729 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9729

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

9 birimlik bir örneklemin ortalaması 107,5 ve standart sapması s = 7. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 9x̄ = 107,5s = 799%t(8) = 3,355

E =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 11 parsel, ortalama verim 80 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 10 parsel, ortalama 74,5 kg, standart sapma 1,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 11x̄₁ = 80s₁ = 3n₂ = 10x̄₂ = 74,5s₂ = 1,590%t(19) = 1,729

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 504,8, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 504,8s = 10n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ > 500 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 18 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 504,8’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 500μ = 504,8σ = 18n = 36α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 97Σx² = 55Σy² = 1935Σxy = 268

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (16,5, 69) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(16,5, 69)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,47

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 155/5 = 31

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 6² + 10² + (−15)² + (−14)² + 13² = 726

Standart sapma

s = √(726/4) = 13,47

Cevap

s = 13,47

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: N = 495

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

Cevap

N = 495

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 8,047

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Doğrusal değişim

σ_Y = |10|·0,8047 = 8,047

Cevap

σ_Y = 8,047

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·0,95 − 3 = 6,5.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,21

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9729)/2 = 0,9864

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9864 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,21

Cevap

z = 2,21

6.Normal dağılım

Cevap: x = 45,96 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Cevap

x = 45,96 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 7,828

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 8, t = 3,355

Hata payı

E = 3,355·7/√9 = 7,828

Cevap

E = 7,828

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 1,82 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (10·3² + 9·1,5²)/19 = 5,803

s_p = 2,409

Hata payı

E = 1,729·2,409·√(1/11 + 1/10) = 1,82

Cevap

E = 1,82 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,88

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Test istatistiği

t = (504,8 − 500)/1,667 = 2,88

Cevap

t = 2,88

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 23,39 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 500 + 2,326·3 = 507

Gerçek ortalama altında z

z = (507 − 504,8)/3 = 0,726

Güç

güç = P(Z > 0,726) = 23,39%

1 − β = 23,39%

Cevap

1 − β = 23,39%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9972

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 268 − 15·97/5 = −23

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1935 − 97²/5 = 53,2

Korelasyon katsayısı

r = −23/√(10·53,2) = −0,9972

Cevap

r = −0,9972

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 5,333

Ortalamalar

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 526/6 = 87,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 630

Regresyon doğrusu

b = 630/157,5 = 4

a = 87,67 − 4·22,5 = −2,333

ŷ = −2,333 + 4·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −2,333 + 4·16,5 = 63,67

Artık

e = 69 − 63,67 = 5,333

Cevap

e = 5,333

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1