İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 56, 58, 37, 51.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 60 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 10x = 60

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9890 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9890

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 4,9. 450 gözleme dayanan %95 aralığın hata payı E₂ nedir?

99%n₁ = 50E₁ = 4,995%n₂ = 450

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 15 milin çaplarının örneklem standart sapması 3,3 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 14 ile χ² dağılımının %2,5’i 5,629 değerinin altında, %2,5’i 26,119 değerinin üstündedir.

n = 15s = 3,3 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 204,6, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 204,6s = 8n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 54,8. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 54,8σ = 20n = 2590%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (10, 106) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(10, 106)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,65

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 234/5 = 46,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−14,8)² + 9,2² + 11,2² + (−9,8)² + 4,2² = 542,8

Standart sapma

s = √(542,8/4) = 11,65

Cevap

s = 11,65

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1

Standartlaştırın

z = (60 − 50)/10 = 1

Cevap

z = 1

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 5,64

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,4

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,2

Varyans

Var(X) = 17,2 − 3,4² = 5,64

Cevap

Var(X) = 5,64

4.Olasılık

Cevap: P = 0,5767

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8⁷ = 0,2097

P(X = 1) = 7·0,2·0,8⁶ = 0,367

Toplayın

P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767

Cevap

P = 0,5767

5.Normal dağılım

Cevap: z = −2,29

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9890 = 0,0110

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0110 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −2,29

Cevap

z = −2,29

6.Normal dağılım

Cevap: x = 551,3 h

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Cevap

x = 551,26 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 1,243

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(50/450) = 0,2536

Yeni hata payı

E₂ = 4,9·0,2536 = 1,243

Cevap

E₂ = 1,243

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 5,204 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 14·3,3² = 152,5

σ² için sınırlar

152,5/26,119 = 5,837

152,5/5,629 = 27,08

σ için sınır

σ = √27,08 = 5,204 µm

Cevap

σ = 5,204 µm

σ için %95 aralık: [2,416, 5,204] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,875

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Test istatistiği

t = (204,6 − 200)/1,6 = 2,875

Cevap

t = 2,875

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 48,22

Hata payı

E = 1,645·20/√25 = 6,58

Aralık sınırı

L = 54,8 − 6,58 = 48,22

Cevap

L = 48,22

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9984

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 113/6 = 18,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 522,8

Korelasyon katsayısı

r = 191/√(70·522,8) = 0,9984

Cevap

r = 0,9984

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,205

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 529/6 = 88,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477

Regresyon doğrusu

b = 477/70 = 6,814

a = 88,17 − 6,814·8 = 33,65

ŷ = 33,65 + 6,814·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 33,65 + 6,814·10 = 101,8

Artık

e = 106 − 101,8 = 4,205

Cevap

e = 4,205

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1