İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 30, 49, 60, 16, 47, 26, 46.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. 593,8 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 75x = 593,8

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,1, 0,15, 0,35, 0,15

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,7k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 50 ile 75 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 65σ = 10x₁ = 50x₂ = 75

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 2,4. 576 gözleme dayanan %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 64E₁ = 2,499%n₂ = 576

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 25 milin çaplarının örneklem standart sapması 3,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 24 ile χ² dağılımının %2,5’i 12,401 değerinin altında, %2,5’i 39,364 değerinin üstündedir.

n = 25s = 3,2 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 100 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 84,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 6 mm. Hat 2: 100 parçalık bir örneklemin ortalaması 78,6 mm, bilinen standart sapması 18 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 100x̄₁ = 84,5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 100x̄₂ = 78,6 mmσ₂ = 18 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 7,5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 53,45’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 53,45σ = 7,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 22) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4,5, 22)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,45

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 274/7 = 39,14

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−9,143)² + 9,857² + 20,86² + (−23,14)² + 7,857² + (−13,14)² + 6,857² = 1433

Standart sapma

s = √(1433/6) = 15,45

Cevap

s = 15,45

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,25

Standartlaştırın

z = (593,8 − 500)/75 = 1,25

Cevap

z = 1,25

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,431

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,1 + 2·0,15 + 3·0,35 + 4·0,15 = 2,05

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,1 + 4·0,15 + 9·0,35 + 16·0,15 = 6,25

Varyans

Var(X) = 6,25 − 2,05² = 2,048

σ = √2,048 = 1,431

Cevap

σ = 1,431

4.Olasılık

Cevap: P = 0,001447

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 45·0,7²·0,3⁸ = 45·0,49·6,561 × 10⁻⁵ = 0,001447

Cevap

P = 0,001447

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7745

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (50 − 65)/10 = −1,5

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745

Cevap

P = 0,7745

6.Normal dağılım

Cevap: x = 88,26 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 puan

Cevap

x = 88,26 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 1,051

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(64/576) = 0,4381

Yeni hata payı

E₂ = 2,4·0,4381 = 1,051

Cevap

E₂ = 1,051

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 4,452 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 24·3,2² = 245,8

σ² için sınırlar

245,8/39,364 = 6,243

245,8/12,401 = 19,82

σ için sınır

σ = √19,82 = 4,452 µm

Cevap

σ = 4,452 µm

σ için %95 aralık: [2,499, 4,452] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 3,11

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(6²/100 + 18²/100) = √3,6 = 1,897

Test istatistiği

z = (84,5 − 78,6)/1,897 = 3,11

Cevap

z = 3,11

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 15,43 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 50 + 1,282·1,5 = 51,92

Gerçek ortalama altında z

z = (51,92 − 53,45)/1,5 = −1,018

II. tip hata

güç = P(Z > −1,018) = 84,57%

β = 100% − 84,57% = 15,43%

Cevap

β = 15,43%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9846

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 63/5 = 12,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 75,2

Korelasyon katsayısı

r = 54/√(40·75,2) = 0,9846

Cevap

r = 0,9846

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Regresyon doğrusu

b = −16/10 = −1,6

a = 22,4 − (−1,6)·3 = 27,2

ŷ = 27,2 − 1,6·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 27,2 + (−1,6)·4,5 = 20

Artık

e = 22 − 20 = 2

Cevap

e = 2

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1