Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 34, 19, 33, 37.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 530'ün altındadır?
μ = 500σ = 50x = 530
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35
σ =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,15 olasılıkla €40, 0,02 olasılıkla €500 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €10€40: p = 0,15€500: p = 0,02
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 5 tanesinin toplam kütlesinin 465,2 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 465,2 kg
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
10 birimlik bir örneklemin ortalaması 28,5 ve standart sapması s = 10,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 10x̄ = 28,5s = 10,590%t(9) = 1,833
E =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 32E = 0,599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
7 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −3,93 ve farkların standart sapması 4. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 7d̄ = −3,93sd = 4
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 100 hastadan 30’i, B tedavisi alan 150 hastadan 30’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 150
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 8,444
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 143/5 = 28,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−8,6)² + 5,4² + (−9,6)² + 4,4² + 8,4² = 285,2
Standart sapma
s = √(285,2/4) = 8,444
Cevap
s = 8,444
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,7257
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Cevap
P = 0,7257
3.Olasılık
Cevap: σ = 12,36
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,3 + 20·0,1 + 30·0,25 + 40·0,35 = 26,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,1 + 900·0,25 + 1600·0,35 = 855
Varyans
Var(X) = 855 − 26,5² = 152,8
σ = √152,8 = 12,36
Cevap
σ = 12,36
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 30 (p = 0,15), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,83)
Beklenen değer
E(G) = 30·0,15 + 490·0,02 − 10·0,83 = 6 €
Cevap
E(G) = 6 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,06681
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26,83 kg
Standartlaştırın
z = (465,2 − 425)/26,83 = 1,5
Olasılık
P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8133
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Cevap
P = 0,8133
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 6,086
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Hata payı
E = 1,833·10,5/√10 = 6,086
Cevap
E = 6,086
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 27181
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·32/0,5)² = 27180
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 27181
Cevap
n = 27181
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,599
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 4/√7 = 1,512
Test istatistiği
t = −3,93/1,512 = −2,599
Cevap
t = −2,599
df = 6 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,447; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,814
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 30/100 = 0,3
p̂₂ = 30/150 = 0,2
p̂ = 60/250 = 0,24
H₀ altında standart hata
SE = √(0,24·0,76·(1/100 + 1/150)) = 0,05514
Test istatistiği
z = (0,3 − 0,2)/0,05514 = 1,814
Cevap
z = 1,814
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9542
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 283/6 = 47,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 416,8
Korelasyon katsayısı
r = 81,5/√(17,5·416,8) = 0,9542
Cevap
r = 0,9542
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 47,55
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 248/5 = 49,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Regresyon doğrusu
b = 41/10 = 4,1
a = 49,6 − 4,1·4 = 33,2
ŷ = 33,2 + 4,1·x
Tahmin
ŷ = 33,2 + 4,1·3,5 = 47,55
Cevap
ŷ = 47,55
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1