İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
152025303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 59, 13, 34, 55, 26, 48.

n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 155,6 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 12x = 155,6
z =
3.OlasılıkOrta
n = 15k = 2N = ?

15 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 15k = 2
N =
4.OlasılıkZor
€p(x)−30,7830,2270,02

Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,2 olasılıkla €6, 0,02 olasılıkla €30 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €3€6: p = 0,2€30: p = 0,02
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
320 g318,3 gT = X₁ + … + X₈?

cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 8 tanesinin toplam kütlesinin 318,3 g değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 318.3 g
P =
6.Normal dağılımZor
10 cm0X − Y?

Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
n = 21, s = 6LUx̄ = 92E = ?99%

21 birimlik bir örneklemin ortalaması 92 ve standart sapması s = 6. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 21x̄ = 92s = 699%t(20) = 2,845
E =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 6, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Anakütle standart sapması 6. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 6E = 199%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,01102,011

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 121,2, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 121,2s = 12n = 49
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −2,57602,576

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 52,2. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 52,2σ = 4n = 1699%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy141346557773981xy5406080

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy157255356465572667xy2466070ŷ = 68

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 68 tahmin eder?

n = 6ŷ = 68
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,93

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 235/6 = 39,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 19,83² + (−26,17)² + (−5,167)² + 15,83² + (−13,17)² + 8,833² = 1607

Standart sapma

s = √(1607/5) = 17,93

Cevap

s = 17,93
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,2

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (155,6 − 170)/12 = −1,2

Cevap

z = −1,2
3.Olasılık

Cevap: N = 105

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Cevap

N = 105
4.Olasılık

Cevap: E(G) = −1,2 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 3 (p = 0,2), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,78)

Beklenen değer

E(G) = 3·0,2 + 27·0,02 − 3·0,78 = −1,2 €

Cevap

E(G) = −1,2 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3085

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μT = 320 g, σT = 1,2·√8 = 3,394 g

Standartlaştırın

z = (318,3 − 320)/3,394 = −0,5

Olasılık

P = Φ(−0,5) = 0,3085

Cevap

P = 0,3085
6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7389

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Cevap

P = 0,7389
7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,725

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Hata payı

E = 2,845·6/√21 = 3,725

Cevap

E = 3,725
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 239

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·6/1)² = 238,9

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 239

Cevap

n = 239
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Test istatistiği

t = (121,2 − 120)/1,714 = 0,7

Cevap

t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 54,78

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·4/√16 = 2,576

Aralık sınırı

U = 52,2 + 2,576 = 54,78

Cevap

U = 54,78
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9742

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 298/5 = 59,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1175

Belirlilik katsayısı

r² = 214²/(40·1175) = 0,9742

Cevap

r² = 0,9742

y’deki değişimin yaklaşık %97,42’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,409

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 372/6 = 62

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

Regresyon doğrusu

b = 55/17,5 = 3,143
a = 62 − 3,143·3,5 = 51
ŷ = 51 + 3,143·x

x için çözün

x = (68 − 51)/3,143 = 5,409

Cevap

x = 5,409

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1