İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 31, 20, 44, 58, 12, 32.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 94'ün üstündedir?

μ = 70σ = 12x = 94

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 3 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

3 / 6

P =

4.OlasılıkZor

11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 568,8 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 568,8 kg

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

8 birimlik bir örneklemin ortalaması 54,5 ve standart sapması s = 2,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 8x̄ = 54,5s = 2,595%t(7) = 2,365

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,2 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,2E = 0,0390%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 501,4, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 501,4s = 4n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 16 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 54,6’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 54,6σ = 16n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6, 47) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(6, 47)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,94

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 216/7 = 30,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + 0,1429² + (−10,86)² + 13,14² + 27,14² + (−18,86)² + 1,143² = 1525

Standart sapma

s = √(1525/6) = 15,94

Cevap

s = 15,94

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: P = 0,08333

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 3/9 · 2/8 = 6/72 = 0,08333

Cevap

P = 0,08333

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3221

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8¹¹ = 0,0859

P(X = 1) = 11·0,2·0,8¹⁰ = 0,2362

Toplayın

P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221

Cevap

P = 0,3221

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,02275

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29,39 kg

Standartlaştırın

z = (568,8 − 510)/29,39 = 2

Olasılık

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9616

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Cevap

P = 0,9616

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 52,41

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 7, t = 2,365

Hata payı

E = 2,365·2,5/√8 = 2,09

Aralık

54,5 ± 2,09 → [52,41, 56,59]

Cevap

alt sınır = 52,41

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 482

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,645²·0,2·0,8/0,03² = 481,1

Yukarı yuvarlayın

n = 482

Cevap

n = 482

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,45

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Test istatistiği

t = (501,4 − 500)/0,5714 = 2,45

Cevap

t = 2,45

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 84,57 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 50 + 1,282·2 = 52,56

Gerçek ortalama altında z

z = (52,56 − 54,6)/2 = −1,018

Güç

güç = P(Z > −1,018) = 84,57%

1 − β = 84,57%

Cevap

1 − β = 84,57%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9542

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 85/6 = 14,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 103

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 158,8

Belirlilik katsayısı

r² = 103²/(70·158,8) = 0,9542

Cevap

r² = 0,9542

y’deki değişimin yaklaşık %95,42’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,8

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 207/5 = 41,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

Regresyon doğrusu

b = 112/40 = 2,8

a = 41,4 − 2,8·5 = 27,4

ŷ = 27,4 + 2,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 27,4 + 2,8·6 = 44,2

Artık

e = 47 − 44,2 = 2,8

Cevap

e = 2,8

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1