İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
2025303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 27, 29, 19, 59, 22, 55, 39.

n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. 590 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 60x = 590
z =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3?4?5?6Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 6
P =
4.OlasılıkZor
n = 12, p = 0,6: P(X = 1) = ?k0123456789101112

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,6 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,6k = 1
P =
5.Normal dağılımOrta
82130P = ?

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 82 ile 130 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 130
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 500x = ?90%

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 90%
x = h
7.Güven aralıklarıOrta
n = 21, s = 10,5LU = ?x̄ = 14,5E99%

21 birimlik bir örneklemin ortalaması 14,5 ve standart sapması s = 10,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 21x̄ = 14,5s = 10,599%t(20) = 2,845
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 12E = 390%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,0302,03

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 47,75, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 47,75s = 15n = 36
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,05βσ = 29, güç 95%, n = ?

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 29. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 4σ = 29zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy12422032141851269xy24610152025

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 104Σx² = 91Σy² = 1966Σxy = 313
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy139246353454554657xy2464050ŷ = 57

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 57 tahmin eder?

n = 6ŷ = 57
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,88

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 250/7 = 35,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + (−6,714)² + (−16,71)² + 23,29² + (−13,71)² + 19,29² + 3,286² = 1513

Standart sapma

s = √(1513/6) = 15,88

Cevap

s = 15,88
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,5

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (590 − 500)/60 = 1,5

Cevap

z = 1,5
3.Olasılık

Cevap: P = 0,6651

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Cevap

P = 0,6651
4.Olasılık

Cevap: P = 0,000302

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 1) = 12·0,61·0,411 = 12·0,6·4,194 × 10⁻⁵ = 0,000302

Cevap

P = 0,000302
5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8622

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2
z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Aradaki alan

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Cevap

P = 0,8622
6.Normal dağılım

Cevap: x = 551,3 h

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Cevap

x = 551,26 h
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 21,02

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Hata payı

E = 2,845·10,5/√21 = 6,519

Aralık

14,5 ± 6,519 → [7,981, 21,02]

Cevap

üst sınır = 21,02
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 44

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·12/3)² = 43,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 44

Cevap

n = 44
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Test istatistiği

t = (47,75 − 50)/2,5 = −0,9

Cevap

t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 569

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·29/4)² = 568,9

Yukarı yuvarlayın

n = 569

Cevap

n = 569
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9539

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 313 − 21·104/6 = −51
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 1966 − 104²/6 = 163,3

Korelasyon katsayısı

r = −51/√(17,5·163,3) = −0,9539

Cevap

r = −0,9539
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,478

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 303/6 = 50,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 57,5

Regresyon doğrusu

b = 57,5/17,5 = 3,286
a = 50,5 − 3,286·3,5 = 39
ŷ = 39 + 3,286·x

x için çözün

x = (57 − 39)/3,286 = 5,478

Cevap

x = 5,478

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1