İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 20, 53, 37, 19, 11, 13.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 620'ün altındadır?

μ = 500σ = 60x = 620

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 4

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,3, 0,25, 0,1Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 32 ile 44,3 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 32x₂ = 44,3

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %70 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 50 telefon, ortalama 43,5 h, bilinen standart sapma 20 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 42 h, bilinen standart sapma 11 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 43,5 hσ₁ = 20 hn₂ = 80x̄₂ = 42 hσ₂ = 11 h90%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 34. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 34E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

7 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −12,47 ve farkların standart sapması 11. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 7d̄ = −12,47s_d = 11

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 202,2. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 202,2σ = 8n = 10099%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 57 tahmin eder?

n = 5ŷ = 57

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,29

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 153/6 = 25,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−5,5)² + 27,5² + 11,5² + (−6,5)² + (−14,5)² + (−12,5)² = 1328

Standart sapma

s = √(1328/5) = 16,29

Cevap

s = 16,29

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9772

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Cevap

P = 0,9772

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2778

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Cevap

P = 0,2778

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 9,95

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 2,2, Var(X) = 3,96, σ_X = 1,99

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·1,99 = 9,95

Cevap

σ_Y = 9,95

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·2,2 + 20 = 31.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4798

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (32 − 32)/6 = 0

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Aradaki alan

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Cevap

P = 0,4798

6.Normal dağılım

Cevap: x = 174,4 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,3

Tablodan z

z ≈ −0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Cevap

x = 174,4 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 6,574 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 43,5 − 42 = 1,5

Standart hata

SE = √(20²/50 + 11²/80) = 3,084

Hata payı

E = 1,645·3,084 = 5,074

Aralık

1,5 ± 5,074 → [−3,574, 6,574]

Cevap

üst sınır = 6,574 h

Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 126

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·34/5)² = 125,1

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 126

Cevap

n = 126

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,999

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 11/√7 = 4,158

Test istatistiği

t = −12,47/4,158 = −2,999

Cevap

t = −2,999

df = 6 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,447; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 204,3

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·8/√100 = 2,061

Aralık sınırı

U = 202,2 + 2,061 = 204,3

Cevap

U = 204,3

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9176

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 444/5 = 88,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1343

Belirlilik katsayısı

r² = 222²/(40·1343) = 0,9176

Cevap

r² = 0,9176

y’deki değişimin yaklaşık %91,76’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 4,01

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 362/5 = 72,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206

Regresyon doğrusu

b = 206/40 = 5,15

a = 72,4 − 5,15·7 = 36,35

ŷ = 36,35 + 5,15·x

x için çözün

x = (57 − 36,35)/5,15 = 4,01

Cevap

x = 4,01

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1