İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 33, 51, 41, 30, 59.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 162,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 15x = 162,5

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,35, 0,05, 0,15

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,2k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0901 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0901

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 86 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 16x̄ = 86s = 299%t(15) = 2,947

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 35. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 35E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 247,54. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 6n = 36x̄ = 247,54H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 18 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 91,1’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 91,1σ = 18n = 36α = 0,01

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 92Σx² = 220Σy² = 2004Σxy = 662

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,97

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 269/6 = 44,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 10,17² + (−11,83)² + 6,167² + (−3,833)² + (−14,83)² + 14,17² = 716,8

Standart sapma

s = √(716,8/5) = 11,97

Cevap

s = 11,97

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (162,5 − 170)/15 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,356

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,15 = 1,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,15 = 4,4

Varyans

Var(X) = 4,4 − 1,6² = 1,84

σ = √1,84 = 1,356

Cevap

σ = 1,356

4.Olasılık

Cevap: P = 0,001536

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 6·0,2⁵·0,8¹ = 6·0,00032·0,8 = 0,001536

Cevap

P = 0,001536

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,34

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0901 = 0,9099

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9099 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,34

Cevap

z = 1,34

6.Normal dağılım

Cevap: x = 24,31 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Cevap

x = 24,31 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 1,474

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Hata payı

E = 2,947·2/√16 = 1,474

Cevap

E = 1,474

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 133

n'yi çözün

n = (1,645·35/5)² = 132,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 133

Cevap

n = 133

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,006947

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 6/√36 = 1

z = (247,54 − 250)/1 = −2,46

Kuyruk alanı

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

p-değeri

p = 0,006947

Cevap

p = 0,006947

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 8,472 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 18/√36 = 3

x̄_c = 80 + 2,326·3 = 86,98

Gerçek ortalama altında z

z = (86,98 − 91,1)/3 = −1,374

II. tip hata

güç = P(Z > −1,374) = 91,53%

β = 100% − 91,53% = 8,472%

Cevap

β = 8,472%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9859

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 662 − 30·92/5 = 110

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2004 − 92²/5 = 311,2

Korelasyon katsayısı

r = 110/√(40·311,2) = 0,9859

Cevap

r = 0,9859

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 16,2

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88

Regresyon doğrusu

b = 88/40 = 2,2

a = 18,4 − 2,2·6 = 5,2

ŷ = 5,2 + 2,2·x

Tahmin

ŷ = 5,2 + 2,2·5 = 16,2

Cevap

ŷ = 16,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1