İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 29, 43, 14, 49, 51, 51, 34.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 173,2'ün üstündedir?

μ = 170σ = 8x = 173,2

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,05, 0,35, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 176,25 ile 188,5 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 188,5

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 98,5 ve standart sapması s = 16,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 16x̄ = 98,5s = 16,595%t(15) = 2,131

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 34. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 34E = 2,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 112,2, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 112,2s = 12n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 117,8. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 117,8σ = 10n = 1695%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,86

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 271/7 = 38,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−9,714)² + 4,286² + (−24,71)² + 10,29² + 12,29² + 12,29² + (−4,714)² = 1153

Standart sapma

s = √(1153/6) = 13,86

Cevap

s = 13,86

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,3446

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Cevap

P = 0,3446

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 2,448

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,05 + 4·0,35 + 5·0,2 = 3,05

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,05 + 16·0,35 + 25·0,2 = 11,75

Varyans

Var(X) = 11,75 − 3,05² = 2,448

Cevap

Var(X) = 2,448

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 1,673

X’in yayılımı

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

Doğrusal değişim

σ_Y = |−2|·0,8367 = 1,673

Cevap

σ_Y = 1,673

Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·1 + 4 = 2.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5319

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (188,5 − 178)/7 = 1,5

Aradaki alan

P = Φ(1,5) − Φ(−0,25) = 0,9332 − 0,4013 = 0,5319

Cevap

P = 0,5319

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9616

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Cevap

P = 0,9616

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 89,71

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Hata payı

E = 2,131·16,5/√16 = 8,79

Aralık

98,5 ± 8,79 → [89,71, 107,3]

Cevap

alt sınır = 89,71

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 501

n'yi çözün

n = (1,645·34/2,5)² = 500,5

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 501

Cevap

n = 501

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Test istatistiği

t = (112,2 − 120)/3 = −2,6

Cevap

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 122,7

Hata payı

E = 1,96·10/√16 = 4,9

Aralık sınırı

U = 117,8 + 4,9 = 122,7

Cevap

U = 122,7

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9775

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 601/6 = 100,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 790,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4059

Belirlilik katsayısı

r² = 790,5²/(157,5·4059) = 0,9775

Cevap

r² = 0,9775

y’deki değişimin yaklaşık %97,75’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 58,51

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 384/6 = 64

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Regresyon doğrusu

b = 192/70 = 2,743

a = 64 − 2,743·7 = 44,8

ŷ = 44,8 + 2,743·x

Tahmin

ŷ = 44,8 + 2,743·5 = 58,51

Cevap

ŷ = 58,51

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1