İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 29, 43, 13, 30, 41.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 78,75'ün altındadır?

μ = 60σ = 15x = 78,75

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 1. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0465 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0465

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %10 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 4,7. Aynı verilerden elde edilen %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 50E₁ = 4,790%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 35. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 35E = 295%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 121, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 121s = 4n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 85. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 85σ = 20n = 1699%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 40 tahmin eder?

n = 6ŷ = 40

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,97

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 156/5 = 31,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−2,2)² + 11,8² + (−18,2)² + (−1,2)² + 9,8² = 572,8

Standart sapma

s = √(572,8/4) = 11,97

Cevap

s = 11,97

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,31

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3

Varyans

Var(X) = 3 − 1,3² = 1,31

Cevap

Var(X) = 1,31

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,682

X’in yayılımı

μ = 3,9, Var(X) = 3,39, σ_X = 1,841

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·1,841 = 3,682

Cevap

σ_Y = 3,682

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·3,9 + 1 = 8,8.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,68

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0465 = 0,9535

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9535 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,68

Cevap

z = 1,68

6.Normal dağılım

Cevap: x = 449 h

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 − 1,28·40 = 449 h

Cevap

x = 449 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,945

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/50) = 0,8393

Yeni hata payı

E₂ = 4,7·0,8393 = 3,945

Cevap

E₂ = 3,945

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1177

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·35/2)² = 1176

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1177

Cevap

n = 1177

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,25

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Test istatistiği

t = (121 − 120)/0,8 = 1,25

Cevap

t = 1,25

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 72,12

Hata payı

E = 2,576·20/√16 = 12,88

Aralık sınırı

L = 85 − 12,88 = 72,12

Cevap

L = 72,12

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9988

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 133/5 = 26,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 491,2

Korelasyon katsayısı

r = 140/√(40·491,2) = 0,9988

Cevap

r = 0,9988

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 11,02

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 158/6 = 26,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

Regresyon doğrusu

b = 238/70 = 3,4

a = 26,33 − 3,4·7 = 2,533

ŷ = 2,533 + 3,4·x

x için çözün

x = (40 − 2,533)/3,4 = 11,02

Cevap

x = 11,02

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1