İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 43, 39, 58, 23, 23, 10.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 65 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 15x = 65

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,1, 0,3, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,1894 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,1894

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %70 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan70%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

8 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 8,6 ve standart sapması 4,8. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 8d̄ = 8,6s_d = 4,899%t(7) = 3,499

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 11 milin çaplarının örneklem standart sapması 10,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 10 ile χ² dağılımının %2,5’i 3,247 değerinin altında, %2,5’i 20,483 değerinin üstündedir.

n = 11s = 10,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 201,2, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 201,2s = 12n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 204,5. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 204,5σ = 15n = 3695%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 42Σy = 133Σx² = 364Σy² = 3679Σxy = 1156

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (9, 17) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(9, 17)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,96

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 222/7 = 31,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−5,714)² + 11,29² + 7,286² + 26,29² + (−8,714)² + (−8,714)² + (−21,71)² = 1527

Standart sapma

s = √(1527/6) = 15,96

Cevap

s = 15,96

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1

Standartlaştırın

z = (65 − 50)/15 = 1

Cevap

z = 1

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,24

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,05 + 2·0,1 + 3·0,3 + 4·0,3 + 5·0,25 = 3,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,1 + 9·0,3 + 16·0,3 + 25·0,25 = 14,2

Varyans

Var(X) = 14,2 − 3,6² = 1,24

Cevap

Var(X) = 1,24

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 11,87

X’in yayılımı

μ = 2,3, Var(X) = 1,41, σ_X = 1,187

Doğrusal değişim

σ_Y = |10|·1,187 = 11,87

Cevap

σ_Y = 11,87

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,3 + 20 = 43.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,88

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,1894 = 0,8106

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8106 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,88

Cevap

z = 0,88

6.Normal dağılım

Cevap: x = 70,2 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 puan

Cevap

x = 70,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,938 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 7, t = 3,499

Hata payı

E = 3,499·4,8/√8 = 5,938

Cevap

E = 5,938 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 7,127 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 10·10,2² = 1040

σ² için sınırlar

1040/20,483 = 50,79

1040/3,247 = 320,4

σ için sınır

σ = √50,79 = 7,127 µm

Cevap

σ = 7,127 µm

σ için %95 aralık: [7,127, 17,9] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Test istatistiği

t = (201,2 − 200)/1,714 = 0,7

Cevap

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 209,4

Hata payı

E = 1,96·15/√36 = 4,9

Aralık sınırı

U = 204,5 + 4,9 = 209,4

Cevap

U = 209,4

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9948

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1156 − 42·133/6 = 225

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3679 − 133²/6 = 730,8

Korelasyon katsayısı

r = 225/√(70·730,8) = 0,9948

Cevap

r = 0,9948

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −1,6

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 63/5 = 12,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Regresyon doğrusu

b = 80/40 = 2

a = 12,6 − 2·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 0,6 + 2·9 = 18,6

Artık

e = 17 − 18,6 = −1,6

Cevap

e = −1,6

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1