Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 45, 27, 58, 54, 27, 50.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 147,5'ün altındadır?
μ = 170σ = 15x = 147,5
P =
3.OlasılıkOrta
8 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 8k = 2
N =
4.OlasılıkZor
Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 9p = 0,25k = 4
P =
5.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 53,5 ile 85,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 85,5
P =
6.Normal dağılımZor
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
7.Güven aralıklarıOrta
21 birimlik bir örneklemin ortalaması 103 ve standart sapması s = 14,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 21x̄ = 103s = 14,599%t(20) = 2,845
E =
8.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,2 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,2E = 0,0390%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 50,39, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 50x̄ = 50,39s = 5n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 47,4. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 47,4σ = 12n = 10090%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 3,5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,49
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 261/6 = 43,5
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 1,5² + (−16,5)² + 14,5² + 10,5² + (−16,5)² + 6,5² = 909,5
Standart sapma
s = √(909,5/5) = 13,49
Cevap
s = 13,49
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,06681
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1,5
Standart normal tablo
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
3.Olasılık
Cevap: N = 28
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(8, 2) = (8·7)/(2·1) = 28
Cevap
N = 28
4.Olasılık
Cevap: P = 0,1168
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 4) = 126·0,254·0,755 = 126·0,003906·0,2373 = 0,1168
Cevap
P = 0,1168
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8547
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05
Aradaki alan
P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547
Cevap
P = 0,8547
6.Normal dağılım
Cevap: x = 37,05 min
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
x’e geri dönüş
x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min
Cevap
x = 37,05 min
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 9,002
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Hata payı
E = 2,845·14,5/√21 = 9,002
Cevap
E = 9,002
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 482
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,645²·0,2·0,8/0,03² = 481,1
Yukarı yuvarlayın
n = 482
Cevap
n = 482
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 0,702
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Test istatistiği
t = (50,39 − 50)/0,5556 = 0,702
Cevap
t = 0,702
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 49,37
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·12/√100 = 1,974
Aralık sınırı
U = 47,4 + 1,974 = 49,37
Cevap
U = 49,37
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9814
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 595/6 = 99,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 661,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2885
Korelasyon katsayısı
r = 661,5/√(157,5·2885) = 0,9814
Cevap
r = 0,9814
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 59,5
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 319/5 = 63,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Regresyon doğrusu
b = 86/10 = 8,6
a = 63,8 − 8,6·4 = 29,4
ŷ = 29,4 + 8,6·x
Tahmin
ŷ = 29,4 + 8,6·3,5 = 59,5
Cevap
ŷ = 59,5
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1