İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 33, 56, 33, 11, 38, 14.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 192,5'ün altındadır?

μ = 170σ = 15x = 192,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,15, 0,15, 0,35

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,25k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,6579 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,6579

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 92 ve standart sapması s = 3,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 10x̄ = 92s = 3,595%t(9) = 2,262

E =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,15 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,15E = 0,02590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 497,8, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 8n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 76. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 76σ = 15n = 3699%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 101Σx² = 220Σy² = 2395Σxy = 724

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (8, 71) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(8, 71)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,56

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 185/6 = 30,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2,167² + 25,17² + 2,167² + (−19,83)² + 7,167² + (−16,83)² = 1371

Standart sapma

s = √(1371/5) = 16,56

Cevap

s = 16,56

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: σ = 2,569

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 2·0,15 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,15 + 16·0,15 + 36·0,35 = 15,6

Varyans

Var(X) = 15,6 − 3² = 6,6

σ = √6,6 = 2,569

Cevap

σ = 2,569

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2323

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 66·0,25²·0,75¹⁰ = 66·0,0625·0,05631 = 0,2323

Cevap

P = 0,2323

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,95

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,6579)/2 = 0,8289

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8289 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,95

Cevap

z = 0,95

6.Normal dağılım

Cevap: x = 254,2 g

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g

Cevap

x = 254,21 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 2,504

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Hata payı

E = 2,262·3,5/√10 = 2,504

Cevap

E = 2,504

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 553

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,645²·0,15·0,85/0,025² = 552

Yukarı yuvarlayın

n = 553

Cevap

n = 553

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Test istatistiği

t = (497,8 − 500)/1 = −2,2

Cevap

t = −2,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 69,56

Hata payı

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Aralık sınırı

L = 76 − 6,44 = 69,56

Cevap

L = 69,56

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9905

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 724 − 30·101/5 = 118

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2395 − 101²/5 = 354,8

Korelasyon katsayısı

r = 118/√(40·354,8) = 0,9905

Cevap

r = 0,9905

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,75

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 322/5 = 64,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

Regresyon doğrusu

b = 154/40 = 3,85

a = 64,4 − 3,85·7 = 37,45

ŷ = 37,45 + 3,85·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 37,45 + 3,85·8 = 68,25

Artık

e = 71 − 68,25 = 2,75

Cevap

e = 2,75

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1