İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 53, 23, 27, 18, 22.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 56'ün üstündedir?

μ = 60σ = 8x = 56

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,25k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 4 tanesinin toplam kütlesinin 316 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 316 kg

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %25 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 50 telefon, ortalama 45 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 49,5 h, bilinen standart sapma 20 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 45 hσ₁ = 17 hn₂ = 80x̄₂ = 49,5 hσ₂ = 20 h95%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 124,14. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ ≠ 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 120σ = 18n = 36x̄ = 124,14H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 80 hastadan 48’i, B tedavisi alan 120 hastadan 66’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 48n₁ = 80x₂ = 66n₂ = 120

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (17,5, 94) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(17,5, 94)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,88

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 157/6 = 26,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−12,17)² + 26,83² + (−3,167)² + 0,8333² + (−8,167)² + (−4,167)² = 962,8

Standart sapma

s = √(962,8/5) = 13,88

Cevap

s = 13,88

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6915

Standartlaştırın

z = −0,5

Standart normal tablo

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,7

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Varyans

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Cevap

Var(X) = 0,7

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2581

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 165·0,25³·0,75⁸ = 165·0,01563·0,1001 = 0,2581

Cevap

P = 0,2581

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

Standartlaştırın

z = (316 − 340)/24 = −1

Olasılık

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: x = 182,7 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,75

Tablodan z

z ≈ 0,67

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Cevap

x = 182,7 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,435 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 45 − 49,5 = −4,5

Standart hata

SE = √(17²/50 + 20²/80) = 3,283

Hata payı

E = 1,96·3,283 = 6,435

Cevap

E = 6,435 h

Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Yukarı yuvarlayın

n = 4148

Cevap

n = 4148

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1676

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (124,14 − 120)/3 = 1,38

Kuyruk alanı

Φ(1,38) = 0,9162

1 − Φ(1,38) = 0,0838

p-değeri

p = 2·0,0838 = 0,1676

Cevap

p = 0,1676

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 0,6997

Örneklem oranları

p̂₁ = 48/80 = 0,6

p̂₂ = 66/120 = 0,55

p̂ = 114/200 = 0,57

H₀ altında standart hata

SE = √(0,57·0,43·(1/80 + 1/120)) = 0,07146

Test istatistiği

z = (0,6 − 0,55)/0,07146 = 0,6997

Cevap

z = 0,6997

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9822

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 122/6 = 20,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 523,3

Korelasyon katsayısı

r = 188/√(70·523,3) = 0,9822

Cevap

r = 0,9822

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,95

Ortalamalar

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 566/5 = 113,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483

Regresyon doğrusu

b = 483/90 = 5,367

a = 113,2 − 5,367·22 = −4,867

ŷ = −4,867 + 5,367·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −4,867 + 5,367·17,5 = 89,05

Artık

e = 94 − 89,05 = 4,95

Cevap

e = 4,95

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1