Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 22, 42, 17, 57, 60, 30, 15.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 90'ün altındadır?
μ = 100σ = 5x = 90
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,3, 0,05
σ =
4.OlasılıkZor
6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,1
P =
5.Normal dağılımOrta
çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 4 tanesinin toplam kütlesinin 98,5 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 4< 98.5 kg
P =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %90 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 100 puanσ = 15 puan90%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 66,5 h, bilinen standart sapma 14 h. Model 2: 100 telefon, ortalama 72,5 h, bilinen standart sapma 19 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 66,5 hσ₁ = 14 hn₂ = 100x̄₂ = 72,5 hσ₂ = 19 h90%
alt sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 14E = 1,599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 107,3, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 100x̄ = 107,3s = 10n = 16
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 250 hastadan 88’i, B tedavisi alan 300 hastadan 66’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 66n₂ = 300
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 80 tahmin eder?
n = 5ŷ = 80
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 18,6
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 243/7 = 34,71
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−12,71)² + 7,286² + (−17,71)² + 22,29² + 25,29² + (−4,714)² + (−19,71)² = 2075
Standart sapma
s = √(2075/6) = 18,6
Cevap
s = 18,6
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,02275
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Cevap
P = 0,02275
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,778
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,05 = 2,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,05 = 8
Varyans
Var(X) = 8 − 2,2² = 3,16
σ = √3,16 = 1,778
Cevap
σ = 1,778
4.Olasılık
Cevap: P = 0,8857
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543
Toplayın
P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857
Cevap
P = 0,8857
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,06681
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 100 kg, σT = 0,5·√4 = 1 kg
Standartlaştırın
z = (98,5 − 100)/1 = −1,5
Olasılık
P = Φ(−1,5) = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
6.Normal dağılım
Cevap: x = 119,2 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,9
Tablodan z
z ≈ 1,28
Özgün birimlere geri dönüş
x = 100 + 1,28·15 = 119,2 puan
Cevap
x = 119,2 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −9,882 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 66,5 − 72,5 = −6
Standart hata
SE = √(14²/100 + 19²/100) = 2,36
Hata payı
E = 1,645·2,36 = 3,882
Aralık
−6 ± 3,882 → [−9,882, −2,118]
Cevap
alt sınır = −9,882 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 579
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·14/1,5)² = 578
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 579
Cevap
n = 579
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,92
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5
Test istatistiği
t = (107,3 − 100)/2,5 = 2,92
Cevap
t = 2,92
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 3,433
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 66/300 = 0,22
p̂ = 154/550 = 0,28
H₀ altında standart hata
SE = √(0,28·0,72·(1/250 + 1/300)) = 0,03845
Test istatistiği
z = (0,352 − 0,22)/0,03845 = 3,433
Cevap
z = 3,433
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,8978
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 102/5 = 20,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27
Syy = Σ(y − ȳ)² = 81,2
Belirlilik katsayısı
r² = −27²/(10·81,2) = 0,8978
Cevap
r² = 0,8978
y’deki değişimin yaklaşık %89,78’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 5,92
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 374/5 = 74,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226
Regresyon doğrusu
b = 226/40 = 5,65
a = 74,8 − 5,65·5 = 46,55
ŷ = 46,55 + 5,65·x
x için çözün
x = (80 − 46,55)/5,65 = 5,92
Cevap
x = 5,92
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1