İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 25, 31, 37, 26, 36, 14, 27.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 92'ün altındadır?

μ = 100σ = 8x = 92

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25

σ =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,25 olasılıkla €10, 0,01 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €5€10: p = 0,25€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9812 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9812

z =

6.Normal dağılımZor

A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Güven aralıklarıOrta

100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 6,7. Aynı çalışma bunun yerine 25 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?

99%n₁ = 100E₁ = 6,7n₂ = 25

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 31. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 31E = 499%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 104,2, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 104,2s = 10n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 197,3. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 197,3σ = 10n = 8199%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 7,789

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 196/7 = 28

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−3)² + 3² + 9² + (−2)² + 8² + (−14)² + (−1)² = 364

Standart sapma

s = √(364/6) = 7,789

Cevap

s = 7,789

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,145

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,25 = 2,3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,25 = 6,6

Varyans

Var(X) = 6,6 − 2,3² = 1,31

σ = √1,31 = 1,145

Cevap

σ = 1,145

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −1,5 €

Net sonuçlar

G: 5 (p = 0,25), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)

Beklenen değer

E(G) = 5·0,25 + 95·0,01 − 5·0,74 = −1,5 €

Cevap

E(G) = −1,5 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = −2,08

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9812 = 0,0188

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0188 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −2,08

Cevap

z = −2,08

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartlaştırın

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 13,4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/25) = 2

Yeni hata payı

E₂ = 6,7·2 = 13,4

Cevap

E₂ = 13,4

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 399

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·31/4)² = 398,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 399

Cevap

n = 399

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,1

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Test istatistiği

t = (104,2 − 100)/2 = 2,1

Cevap

t = 2,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 200,2

Hata payı

E = 2,576·10/√81 = 2,862

Aralık sınırı

U = 197,3 + 2,862 = 200,2

Cevap

U = 200,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9796

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 77/5 = 15,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 255,2

Belirlilik katsayısı

r² = 100²/(40·255,2) = 0,9796

Cevap

r² = 0,9796

y’deki değişimin yaklaşık %97,96’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 59,05

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 254/5 = 50,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55

Regresyon doğrusu

b = 55/10 = 5,5

a = 50,8 − 5,5·4 = 28,8

ŷ = 28,8 + 5,5·x

Tahmin

ŷ = 28,8 + 5,5·5,5 = 59,05

Cevap

ŷ = 59,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1