Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 42, 11, 53, 54, 19, 50, 36.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 106'ün üstündedir?
μ = 100σ = 10x = 106
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,3, 0,1
σ =
4.OlasılıkZor
6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,2
P =
5.Normal dağılımOrta
bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 568,8 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 568,8 kg
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 82 h, bilinen standart sapma 13 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 72 h, bilinen standart sapma 13 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 82 hσ₁ = 13 hn₂ = 60x̄₂ = 72 hσ₂ = 13 h90%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 39. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 39E = 199%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
Bir anakütlenin ortalamasının 500 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 6 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 499,18. H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ < 500 test edin. p-değeri p değerini bulun.
μ₀ = 500σ = 6n = 144x̄ = 499,18H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 10E = 0,590%
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 36Σy = 389Σx² = 286Σy² = 26159Σxy = 2585
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 81 tahmin eder?
n = 5ŷ = 81
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 17
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 265/7 = 37,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 4,143² + (−26,86)² + 15,14² + 16,14² + (−18,86)² + 12,14² + (−1,857)² = 1735
Standart sapma
s = √(1735/6) = 17
Cevap
s = 17
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2743
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Cevap
P = 0,2743
3.Olasılık
Cevap: σ = 10,14
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,1 = 21,5
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,1 = 565
Varyans
Var(X) = 565 − 21,5² = 102,8
σ = √102,8 = 10,14
Cevap
σ = 10,14
4.Olasılık
Cevap: P = 0,6554
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,86 = 0,2621
P(X = 1) = 6·0,2·0,85 = 0,3932
Toplayın
P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554
Cevap
P = 0,6554
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,02275
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 510 kg, σT = 12·√6 = 29,39 kg
Standartlaştırın
z = (568,8 − 510)/29,39 = 2
Olasılık
P = 1 − Φ(2) = 0,02275
Cevap
P = 0,02275
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8665
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Cevap
P = 0,8665
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 13,9 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 82 − 72 = 10
Standart hata
SE = √(13²/60 + 13²/60) = 2,373
Hata payı
E = 1,645·2,373 = 3,904
Aralık
10 ± 3,904 → [6,096, 13,9]
Cevap
üst sınır = 13,9 h
Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 10094
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·39/1)² = 10093
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 10094
Cevap
n = 10094
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: p = 0,0505
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Test istatistiği
SE = σ/√n = 6/√144 = 0,5
z = (499,18 − 500)/0,5 = −1,64
Kuyruk alanı
Φ(1,64) = 0,9495
1 − Φ(1,64) = 0,0505
p-değeri
p = 0,0505
Cevap
p = 0,0505
p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 1083
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·10/0,5)² = 1082
Yukarı yuvarlayın
n = 1083
Cevap
n = 1083
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9791
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2585 − 36·389/6 = 251
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 26159 − 389²/6 = 938,8
Korelasyon katsayısı
r = 251/√(70·938,8) = 0,9791
Cevap
r = 0,9791
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 8,135
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 347/5 = 69,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 148
Regresyon doğrusu
b = 148/40 = 3,7
a = 69,4 − 3,7·5 = 50,9
ŷ = 50,9 + 3,7·x
x için çözün
x = (81 − 50,9)/3,7 = 8,135
Cevap
x = 8,135
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1