İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 43, 22, 12, 47, 30, 49.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 95'ün altındadır?

μ = 70σ = 20x = 95

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

3 / 4

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 745,1 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 745,1 g

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 90%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 2,5. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 25E₁ = 2,599%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 13,5 kg, standart sapma 7 kg. Parsel grubu 2: 11 parsel, ortalama 22 kg, standart sapma 5,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 13,5s₁ = 7n₂ = 11x̄₂ = 22s₂ = 5,590%t(15) = 1,753

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

11 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −11,08 ve farkların standart sapması 10,5. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 11d̄ = −11,08s_d = 10,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 117,1. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 117,1σ = 10n = 6499%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 132Σy = 444Σx² = 2974Σy² = 33982Σxy = 10028

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 3

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,96

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 203/6 = 33,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 9,167² + (−11,83)² + (−21,83)² + 13,17² + (−3,833)² + 15,17² = 1119

Standart sapma

s = √(1119/5) = 14,96

Cevap

s = 14,96

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8944

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Cevap

P = 0,8944

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1429

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 3/7 · 2/6 = 6/42 = 0,1429

Cevap

P = 0,1429

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 5,134

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 3,1, Var(X) = 6,59, σ_X = 2,567

Doğrusal değişim

σ_Y = |−2|·2,567 = 5,134

Cevap

σ_Y = 5,134

Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·3,1 + 10 = 3,8.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6915

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915

6.Normal dağılım

Cevap: x = 187 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm

Cevap

x = 186,97 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,286

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314

Yeni hata payı

E₂ = 2,5·1,314 = 3,286

Cevap

E₂ = 3,286

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,375 kg

Bir fark için aralık: tahmin ± kritik değer × standart hata. σ’sı bilinen iki bağımsız ortalama için: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) ve z. Eşit ve bilinmeyen varyanslarda: birleştirilmiş s_p ve n₁ + n₂ − 2 serbestlik dereceli t. Eşleştirilmiş verilerde farklarla çalışın: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (5·7² + 10·5,5²)/15 = 36,5

s_p = 6,042

Hata payı

E = 1,753·6,042·√(1/6 + 1/11) = 5,375

Cevap

E = 5,375 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,5

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Ortalama farkın standart hatası

SE = 10,5/√11 = 3,166

Test istatistiği

t = −11,08/3,166 = −3,5

Cevap

t = −3,5

df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 120,3

Hata payı

E = 2,576·10/√64 = 3,22

Aralık sınırı

U = 117,1 + 3,22 = 120,3

Cevap

U = 120,3

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9261

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 10028 − 132·444/6 = 260

S_xx = 2974 − 132²/6 = 70

S_yy = 33982 − 444²/6 = 1126

Korelasyon katsayısı

r = 260/√(70·1126) = 0,9261

Cevap

r = 0,9261

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 46,79

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 374/6 = 62,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

Regresyon doğrusu

b = 272/70 = 3,886

a = 62,33 − 3,886·7 = 35,13

ŷ = 35,13 + 3,886·x

Tahmin

ŷ = 35,13 + 3,886·3 = 46,79

Cevap

ŷ = 46,79

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1