İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 37, 15, 43, 36, 20, 41, 30.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 70'ün altındadır?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

3.OlasılıkOrta

13 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 13k = 2

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 5. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 169,6 ile 179,4 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 179,4

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 10,1. Aynı çalışma bunun yerine 25 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?

99%n₁ = 100E₁ = 10,1n₂ = 25

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,8 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,8E = 0,0395%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 8 öğrenci, ortalama puan 21,5, standart sapma 3. Grup 2: 13 öğrenci, ortalama puan 15,7, standart sapma 10,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 21,5s₁ = 3n₂ = 13x̄₂ = 15,7s₂ = 10,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 90’i, B tedavisi alan 300 hastadan 156’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 90n₁ = 150x₂ = 156n₂ = 300

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 48Σy = 484Σx² = 454Σy² = 40896Σxy = 4228

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 63) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(3,5, 63)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,64

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 222/7 = 31,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 5,286² + (−16,71)² + 11,29² + 4,286² + (−11,71)² + 9,286² + (−1,714)² = 679,4

Standart sapma

s = √(679,4/6) = 10,64

Cevap

s = 10,64

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = −2

Standart normal tablo

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: N = 78

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Cevap

N = 78

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 2,135

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 2,6, Var(X) = 1,14, σ_X = 1,068

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·1,068 = 2,135

Cevap

σ_Y = 2,135

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·2,6 + 5 = 10,2.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4642

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642

Cevap

P = 0,4642

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9909

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36

Olasılık

P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909

Cevap

P = 0,9909

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 20,2

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(100/25) = 2

Yeni hata payı

E₂ = 10,1·2 = 20,2

Cevap

E₂ = 20,2

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 683

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,8·0,2/0,03² = 683

Yukarı yuvarlayın

n = 683

Cevap

n = 683

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,511

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (7·3² + 12·10,5²)/19 = 72,95

s_p = 8,541

Standart hata

SE = 8,541·√(1/8 + 1/13) = 3,838

Test istatistiği

t = (21,5 − 15,7)/3,838 = 1,511

Cevap

t = 1,511

df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,607

Örneklem oranları

p̂₁ = 90/150 = 0,6

p̂₂ = 156/300 = 0,52

p̂ = 246/450 = 0,5467

H₀ altında standart hata

SE = √(0,5467·0,4533·(1/150 + 1/300)) = 0,04978

Test istatistiği

z = (0,6 − 0,52)/0,04978 = 1,607

Cevap

z = 1,607

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9884

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 4228 − 48·484/6 = 356

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 40896 − 484²/6 = 1853

Korelasyon katsayısı

r = 356/√(70·1853) = 0,9884

Cevap

r = 0,9884

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,35

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 312/5 = 62,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

Regresyon doğrusu

b = 75/10 = 7,5

a = 62,4 − 7,5·4 = 32,4

ŷ = 32,4 + 7,5·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 32,4 + 7,5·3,5 = 58,65

Artık

e = 63 − 58,65 = 4,35

Cevap

e = 4,35

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1