İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 25, 11, 28, 11, 31, 36.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 176'ün altındadır?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 27,5 ile 37,1 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 37,1

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

15 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 2,3 ve standart sapması 0,7. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 15d̄ = 2,3s_d = 0,795%t(14) = 2,145

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 10 parsel, ortalama verim 83,5 kg, standart sapma 3,5 kg. Parsel grubu 2: 12 parsel, ortalama 77 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 83,5s₁ = 3,5n₂ = 12x̄₂ = 77s₂ = 6,590%t(20) = 1,725

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 9 öğrenci, ortalama puan 70,5, standart sapma 5,5. Grup 2: 5 öğrenci, ortalama puan 64,4, standart sapma 4,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 9x̄₁ = 70,5s₁ = 5,5n₂ = 5x̄₂ = 64,4s₂ = 4,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 491,2. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 491,2σ = 20n = 2595%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 81Σx² = 220Σy² = 1493Σxy = 570

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (16, 66) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(16, 66)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,46

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 142/6 = 23,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,333² + (−12,67)² + 4,333² + (−12,67)² + 7,333² + 12,33² = 547,3

Standart sapma

s = √(547,3/5) = 10,46

Cevap

s = 10,46

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 128,8

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,2 = 22,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 635

Varyans

Var(X) = 635 − 22,5² = 128,8

Cevap

Var(X) = 128,8

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 2,862

X’in yayılımı

μ = 2,3, Var(X) = 0,91, σ_X = 0,9539

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·0,9539 = 2,862

Cevap

σ_Y = 2,862

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·2,3 + 10 = 16,9.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5757

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(−0,75) = 0,8023 − 0,2266 = 0,5757

Cevap

P = 0,5757

6.Normal dağılım

Cevap: x = 434,2 h

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

x’e geri dönüş

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Cevap

x = 434,2 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 0,3877 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 14, t = 2,145

Hata payı

E = 2,145·0,7/√15 = 0,3877

Cevap

E = 0,3877 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 2,54 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (9·3,5² + 11·6,5²)/20 = 28,75

s_p = 5,362

Hata payı

E = 1,725·5,362·√(1/10 + 1/12) = 3,96

Aralık

6,5 ± 3,96 → [2,54, 10,46]

Cevap

alt sınır = 2,54 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,108

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (8·5,5² + 4·4,5²)/12 = 26,92

s_p = 5,188

Standart hata

SE = 5,188·√(1/9 + 1/5) = 2,894

Test istatistiği

t = (70,5 − 64,4)/2,894 = 2,108

Cevap

t = 2,108

df = 12 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,179; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 483,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·20/√25 = 7,84

Aralık sınırı

L = 491,2 − 7,84 = 483,4

Cevap

L = 483,4

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9878

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 570 − 30·81/5 = 84

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1493 − 81²/5 = 180,8

Korelasyon katsayısı

r = 84/√(40·180,8) = 0,9878

Cevap

r = 0,9878

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,957

Ortalamalar

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 465/6 = 77,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 253

Regresyon doğrusu

b = 253/70 = 3,614

a = 77,5 − 3,614·20 = 5,214

ŷ = 5,214 + 3,614·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 5,214 + 3,614·16 = 63,04

Artık

e = 66 − 63,04 = 2,957

Cevap

e = 2,957

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1