İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
152025303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 58, 31, 23, 37, 13.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 122,5'ün üstündedir?

μ = 100σ = 15x = 122,5
P =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 3
P =
4.OlasılıkZor
xp(x)00,0520,340,3560,3μ

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X + 4. Y’nin standart sapmasını σY bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3Y = 10X + 4
σY =
5.Normal dağılımOrta
178183,95P = ?

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 178 ile 183,95 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 183,95
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 500x = ?99%

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
7.Güven aralıklarıOrta
n = 30, s = 12LUx̄ = 95,5E = ?99%

30 birimlik bir örneklemin ortalaması 95,5 ve standart sapması s = 12. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 30x̄ = 95,5s = 1299%t(29) = 2,756
E =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Anakütle standart sapması 26. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 26E = 0,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,9901,99

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 202,8, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 202,8s = 12n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −1,64501,645

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 119,1. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 119,1σ = 4n = 4990%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy254136178241029xy510102030

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy126226320416513613xy246152025ŷ = 18

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 18 tahmin eder?

n = 6ŷ = 18
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,91

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 162/5 = 32,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 25,6² + (−1,4)² + (−9,4)² + 4,6² + (−19,4)² = 1143

Standart sapma

s = √(1143/4) = 16,91

Cevap

s = 16,91
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681
3.Olasılık

Cevap: P = 0,4213

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Cevap

P = 0,4213
4.Olasılık

Cevap: σY = 17,78

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 3,8, Var(X) = 3,16, σX = 1,778

Doğrusal değişim

σY = |10|·1,778 = 17,78

Cevap

σY = 17,78

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·3,8 + 4 = 42.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3023

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(0) = 0,8023 − 0,5 = 0,3023

Cevap

P = 0,3023
6.Normal dağılım

Cevap: x = 593,1 h

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h

Cevap

x = 593,05 h
7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,038

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Hata payı

E = 2,756·12/√30 = 6,038

Cevap

E = 6,038
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 7318

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·26/0,5)² = 7317

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 7318

Cevap

n = 7318
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,1

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Test istatistiği

t = (202,8 − 200)/1,333 = 2,1

Cevap

t = 2,1
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 120

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·4/√49 = 0,94

Aralık sınırı

U = 119,1 + 0,94 = 120

Cevap

U = 120
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9912

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 88/5 = 17,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 351,2

Belirlilik katsayısı

r² = 118²/(40·351,2) = 0,9912

Cevap

r² = 0,9912

y’deki değişimin yaklaşık %99,12’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 3,824

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 114/6 = 19

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54

Regresyon doğrusu

b = −54/17,5 = −3,086
a = 19 − (−3,086)·3,5 = 29,8
ŷ = 29,8 − 3,086·x

x için çözün

x = (18 − 29,8)/(−3,086) = 3,824

Cevap

x = 3,824

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1