İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 33, 22, 17, 23, 36, 40, 58.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 80 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 20x = 80

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 3

P =

4.OlasılıkZor

8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 246 ile 251,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 251,25

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

30 birimlik bir örneklemin ortalaması 17 ve standart sapması s = 5,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 30x̄ = 17s = 5,595%t(29) = 2,045

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 14E = 190%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 77,57, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 77,57s = 15n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 6. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 1σ = 6z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 36Σy = 247Σx² = 286Σy² = 11009Σxy = 1719

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (1,5, 18) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(1,5, 18)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,9

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 229/7 = 32,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 0,2857² + (−10,71)² + (−15,71)² + (−9,714)² + 3,286² + 7,286² + 25,29² = 1159

Standart sapma

s = √(1159/6) = 13,9

Cevap

s = 13,9

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,5

Standartlaştırın

z = (80 − 50)/20 = 1,5

Cevap

z = 1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,4213

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Cevap

P = 0,4213

4.Olasılık

Cevap: P = 0,8131

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

Toplayın

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

Cevap

P = 0,8131

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3869

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(−0,8) = 0,5987 − 0,2119 = 0,3869

Cevap

P = 0,3869

6.Normal dağılım

Cevap: x = 172,1 cm

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Cevap

x = 172,11 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 14,95

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Hata payı

E = 2,045·5,5/√30 = 2,054

Aralık

17 ± 2,054 → [14,95, 19,05]

Cevap

alt sınır = 14,95

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 531

n'yi çözün

n = (1,645·14/1)² = 530,4

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 531

Cevap

n = 531

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,199

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Test istatistiği

t = (77,57 − 75)/2,143 = 1,199

Cevap

t = 1,199

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 223

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·6/1)² = 222,7

Yukarı yuvarlayın

n = 223

Cevap

n = 223

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9769

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1719 − 36·247/6 = 237

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 11009 − 247²/6 = 840,8

Korelasyon katsayısı

r = 237/√(70·840,8) = 0,9769

Cevap

r = 0,9769

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4,886

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 114/6 = 19

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Regresyon doğrusu

b = −34/17,5 = −1,943

a = 19 − (−1,943)·3,5 = 25,8

ŷ = 25,8 − 1,943·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 25,8 + (−1,943)·1,5 = 22,89

Artık

e = 18 − 22,89 = −4,886

Cevap

e = −4,886

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1