Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 34, 25, 45, 53, 11, 24.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 20'ün altındadır?
μ = 50σ = 15x = 20
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35
σ =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 10. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 10
σY =
5.Normal dağılımOrta
kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 4 tanesinin toplam kütlesinin 45,6 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 45,6 kg
P =
6.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
7.Güven aralıklarıOrta
13 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 0,9 ve standart sapması 0,7. Ortalama fark için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 13d̄ = 0,9sd = 0,799%t(12) = 3,055
üst sınır = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 21. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 21E = 395%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 75,48, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 75x̄ = 75,48s = 4n = 100
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 250 hastadan 88’i, B tedavisi alan 100 hastadan 23’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 23n₂ = 100
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 24 tahmin eder?
n = 6ŷ = 24
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 14,92
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 210/7 = 30
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−12)² + 4² + (−5)² + 15² + 23² + (−19)² + (−6)² = 1336
Standart sapma
s = √(1336/6) = 14,92
Cevap
s = 14,92
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,02275
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Cevap
P = 0,02275
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,236
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,65
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,25
Varyans
Var(X) = 4,25 − 1,65² = 1,528
σ = √1,528 = 1,236
Cevap
σ = 1,236
4.Olasılık
Cevap: σY = 2,414
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Doğrusal değişim
σY = |3|·0,8047 = 2,414
Cevap
σY = 2,414
Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·0,95 + 10 = 12,85.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9332
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 48 kg, σT = 0,8·√4 = 1,6 kg
Standartlaştırın
z = (45,6 − 48)/1,6 = −1,5
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
6.Normal dağılım
Cevap: x = 182,7 cm
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745
x’e geri dönüş
x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm
Cevap
x = 182,72 cm
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 1,493 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 12, t = 3,055
Hata payı
E = 3,055·0,7/√13 = 0,5931
Aralık
0,9 ± 0,5931 → [0,3069, 1,493]
Cevap
üst sınır = 1,493 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 189
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·21/3)² = 188,2
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 189
Cevap
n = 189
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,2
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4
Test istatistiği
t = (75,48 − 75)/0,4 = 1,2
Cevap
t = 1,2
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 2,216
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 88/250 = 0,352
p̂₂ = 23/100 = 0,23
p̂ = 111/350 = 0,3171
H₀ altında standart hata
SE = √(0,3171·0,6829·(1/250 + 1/100)) = 0,05506
Test istatistiği
z = (0,352 − 0,23)/0,05506 = 2,216
Cevap
z = 2,216
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9489
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 334/6 = 55,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86
Syy = Σ(y − ȳ)² = 469,3
Korelasyon katsayısı
r = 86/√(17,5·469,3) = 0,9489
Cevap
r = 0,9489
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 1,273
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 123/6 = 20,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27,5
Regresyon doğrusu
b = −27,5/17,5 = −1,571
a = 20,5 − (−1,571)·3,5 = 26
ŷ = 26 − 1,571·x
x için çözün
x = (24 − 26)/(−1,571) = 1,273
Cevap
x = 1,273
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1