İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 51, 28, 14, 42, 52, 53.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 62,5'ün üstündedir?

μ = 50σ = 10x = 62,5

P =

3.OlasılıkOrta

7 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 7k = 3

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,4713 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,4713

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 40 telefon, ortalama 140 h, bilinen standart sapma 10 h. Model 2: 100 telefon, ortalama 127,5 h, bilinen standart sapma 15 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 140 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 127,5 hσ₂ = 15 h95%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 60,5 kg, standart sapma 9 kg. Parsel grubu 2: 9 parsel, ortalama 58,5 kg, standart sapma 6,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 60,5s₁ = 9n₂ = 9x̄₂ = 58,5s₂ = 6,595%t(15) = 2,131

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 99, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 99s = 5n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 7,5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 103,15’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 103,15σ = 7,5n = 25α = 0,05

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,86

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 240/6 = 40

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 11² + (−12)² + (−26)² + 2² + 12² + 13² = 1258

Standart sapma

s = √(1258/5) = 15,86

Cevap

s = 15,86

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1056

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Cevap

P = 0,1056

3.Olasılık

Cevap: N = 35

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

Cevap

N = 35

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 55,85

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 25,5, Var(X) = 124,8, σ_X = 11,17

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·11,17 = 55,85

Cevap

σ_Y = 55,85

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·25,5 + 20 = 147,5.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,63

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,4713)/2 = 0,7357

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7357 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,63

Cevap

z = 0,63

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9452

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

Cevap

P = 0,9452

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 16,77 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 140 − 127,5 = 12,5

Standart hata

SE = √(10²/40 + 15²/100) = 2,179

Hata payı

E = 1,96·2,179 = 4,272

Aralık

12,5 ± 4,272 → [8,228, 16,77]

Cevap

üst sınır = 16,77 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −6,043 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (7·9² + 8·6,5²)/15 = 60,33

s_p = 7,767

Hata payı

E = 2,131·7,767·√(1/8 + 1/9) = 8,043

Aralık

2 ± 8,043 → [−6,043, 10,04]

Cevap

alt sınır = −6,043 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Test istatistiği

t = (99 − 100)/0,5556 = −1,8

Cevap

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 67,54 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 7,5/√25 = 1,5

x̄_c = 100 + 1,645·1,5 = 102,5

Gerçek ortalama altında z

z = (102,5 − 103,15)/1,5 = −0,455

Güç

güç = P(Z > −0,455) = 67,54%

1 − β = 67,54%

Cevap

1 − β = 67,54%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9912

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 517/6 = 86,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 347

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1751

Korelasyon katsayısı

r = 347/√(70·1751) = 0,9912

Cevap

r = 0,9912

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 19,55

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Regresyon doğrusu

b = −27/10 = −2,7

a = 18,2 − (−2,7)·3 = 26,3

ŷ = 26,3 − 2,7·x

Tahmin

ŷ = 26,3 + (−2,7)·2,5 = 19,55

Cevap

ŷ = 19,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1