Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 37, 53, 25, 43, 49, 44, 45.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 44 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 20x = 44
z =
3.OlasılıkOrta
9 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 9k = 3
N =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,3, 0,2, 0,1, 0,05Y = 10X − 3
σY =
5.Normal dağılımOrta
çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 10 tanesinin toplam kütlesinin 252,4 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10< 252.4 kg
P =
6.Normal dağılımZor
A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Güven aralıklarıOrta
7 birimlik bir örneklemin ortalaması 48,5 ve standart sapması s = 1,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 7x̄ = 48,5s = 1,590%t(6) = 1,943
E =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 17 parsel, ortalama verim 65,5 kg, standart sapma 7 kg. Parsel grubu 2: 5 parsel, ortalama 66,5 kg, standart sapma 5,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 17x̄₁ = 65,5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 66,5s₂ = 5,590%t(20) = 1,725
üst sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 100 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 115,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 12 mm. Hat 2: 40 parçalık bir örneklemin ortalaması 122 mm, bilinen standart sapması 17 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 115,5 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 40x̄₂ = 122 mmσ₂ = 17 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 2,5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 81,55’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 81,55σ = 2,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 23 tahmin eder?
n = 5ŷ = 23
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 9,105
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 296/7 = 42,29
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−5,286)² + 10,71² + (−17,29)² + 0,7143² + 6,714² + 1,714² + 2,714² = 497,4
Standart sapma
s = √(497,4/6) = 9,105
Cevap
s = 9,105
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,8
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (44 − 60)/20 = −0,8
Cevap
z = −0,8
3.Olasılık
Cevap: N = 84
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84
Cevap
N = 84
4.Olasılık
Cevap: σY = 11,66
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,2, Var(X) = 1,36, σX = 1,166
Doğrusal değişim
σY = |10|·1,166 = 11,66
Cevap
σY = 11,66
Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·1,2 − 3 = 9.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9357
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 250 kg, σT = 0,5·√10 = 1,581 kg
Standartlaştırın
z = (252,4 − 250)/1,581 = 1,52
Olasılık
P = Φ(1,52) = 0,9357
Cevap
P = 0,9357
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartlaştırın
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 1,102
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Hata payı
E = 1,943·1,5/√7 = 1,102
Cevap
E = 1,102
8.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 4,903 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (16·7² + 4·5,5²)/20 = 45,25
sp = 6,727
Hata payı
E = 1,725·6,727·√(1/17 + 1/5) = 5,903
Aralık
−1 ± 5,903 → [−6,903, 4,903]
Cevap
üst sınır = 4,903 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −2,208
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(12²/100 + 17²/40) = √8,665 = 2,944
Test istatistiği
z = (115,5 − 122)/2,944 = −2,208
Cevap
z = −2,208
|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 92,72 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 2,5/√25 = 0,5
x̄c = 80 + 1,645·0,5 = 80,82
Gerçek ortalama altında z
z = (80,82 − 81,55)/0,5 = −1,455
Güç
güç = P(Z > −1,455) = 92,72%
1 − β = 92,72%
Cevap
1 − β = 92,72%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9748
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 539/6 = 89,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 307
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1417
Korelasyon katsayısı
r = 307/√(70·1417) = 0,9748
Cevap
r = 0,9748
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,091
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 121/5 = 24,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −11
Regresyon doğrusu
b = −11/10 = −1,1
a = 24,2 − (−1,1)·3 = 27,5
ŷ = 27,5 − 1,1·x
x için çözün
x = (23 − 27,5)/(−1,1) = 4,091
Cevap
x = 4,091
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1