Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 44, 49, 16, 40.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 58 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 50σ = 8x = 58
z =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 7
P =
4.OlasılıkZor
Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 9p = 0,1k = 4
P =
5.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 20 ile 33,5 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 33,5
P =
6.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 5%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
21 birimlik bir örneklemin ortalaması 11 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 21x̄ = 11s = 1190%t(20) = 1,725
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 77 kg, standart sapma 2 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 68,5 kg, standart sapma 9,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 6x̄₁ = 77s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 68,5s₂ = 9,590%t(10) = 1,812
E = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
8 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,22 ve farkların standart sapması 2,3. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 8d̄ = 1,22sd = 2,3
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 7. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,01güç = 95%δ = 3σ = 7zα = 2,326zβ = 1,645
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 12 tahmin eder?
n = 5ŷ = 12
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,69
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 185/5 = 37
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−1)² + 7² + 12² + (−21)² + 3² = 644
Standart sapma
s = √(644/4) = 12,69
Cevap
s = 12,69
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (58 − 50)/8 = 1
Cevap
z = 1
3.Olasılık
Cevap: P = 0,7209
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Cevap
P = 0,7209
4.Olasılık
Cevap: P = 0,00744
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 4) = 126·0,14·0,95 = 126·0,0001·0,5905 = 0,00744
Cevap
P = 0,00744
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,576
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25
Aradaki alan
P = Φ(0,25) − Φ(−2) = 0,5987 − 0,02275 = 0,576
Cevap
P = 0,576
6.Normal dağılım
Cevap: x = 48,55 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
x’e geri dönüş
x = 65 + −1,645·10 = 48,55 puan
Cevap
x = 48,55 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 15,14
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Hata payı
E = 1,725·11/√21 = 4,141
Aralık
11 ± 4,141 → [6,859, 15,14]
Cevap
üst sınır = 15,14
8.Güven aralıkları
Cevap: E = 7,182 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (5·2² + 5·9,5²)/10 = 47,13
sp = 6,865
Hata payı
E = 1,812·6,865·√(1/6 + 1/6) = 7,182
Cevap
E = 7,182 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,5
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 2,3/√8 = 0,8132
Test istatistiği
t = 1,22/0,8132 = 1,5
Cevap
t = 1,5
df = 7 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,365; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 86
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((2,326 + 1,645)·7/3)² = 85,85
Yukarı yuvarlayın
n = 86
Cevap
n = 86
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,772
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 253/5 = 50,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 81,2
Korelasyon katsayısı
r = 22/√(10·81,2) = 0,772
Cevap
r = 0,772
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,933
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 72/5 = 14,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Regresyon doğrusu
b = 90/40 = 2,25
a = 14,4 − 2,25·6 = 0,9
ŷ = 0,9 + 2,25·x
x için çözün
x = (12 − 0,9)/2,25 = 4,933
Cevap
x = 4,933
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1