İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 39, 13, 28, 42, 27, 14, 11.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 103,2 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 8x = 103,2

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 4

P =

4.OlasılıkZor

5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,7 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,7

P =

5.Normal dağılımOrta

çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 16 tanesinin toplam kütlesinin 398 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 398 kg

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 71 ve standart sapması s = 11,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 7x̄ = 71s = 11,599%t(6) = 3,707

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 33. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 33E = 599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 101,1, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 101,1s = 8n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 20E = 299%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 105Σy = 239Σx² = 2245Σy² = 12011Σxy = 5167

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 14) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(2,5, 14)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,64

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 174/7 = 24,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 14,14² + (−11,86)² + 3,143² + 17,14² + 2,143² + (−10,86)² + (−13,86)² = 958,9

Standart sapma

s = √(958,9/6) = 12,64

Cevap

s = 12,64

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (103,2 − 100)/8 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2778

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/9 · 4/8 = 20/72 = 0,2778

Cevap

P = 0,2778

4.Olasılık

Cevap: P = 0,03078

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,3⁵ = 0,00243

P(X = 1) = 5·0,7·0,3⁴ = 0,02835

Toplayın

P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078

Cevap

P = 0,03078

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standartlaştırın

z = (398 − 400)/2 = −1

Olasılık

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: x = 258,2 g

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Cevap

x = 258,22 g

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 54,89

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Hata payı

E = 3,707·11,5/√7 = 16,11

Aralık

71 ± 16,11 → [54,89, 87,11]

Cevap

alt sınır = 54,89

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 290

n'yi çözün

n = (2,576·33/5)² = 289,1

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 290

Cevap

n = 290

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,237

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Test istatistiği

t = (101,1 − 100)/0,8889 = 1,237

Cevap

t = 1,237

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 664

n'yi çözün

n = (2,576·20/2)² = 663,6

Yukarı yuvarlayın

n = 664

Cevap

n = 664

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,966

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 5167 − 105·239/5 = 148

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 12011 − 239²/5 = 586,8

Korelasyon katsayısı

r = 148/√(40·586,8) = 0,966

Cevap

r = 0,966

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4,85

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 87/5 = 17,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regresyon doğrusu

b = −29/10 = −2,9

a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1

ŷ = 26,1 − 2,9·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 26,1 + (−2,9)·2,5 = 18,85

Artık

e = 14 − 18,85 = −4,85

Cevap

e = −4,85

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1