İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 28, 59, 38, 10, 10.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 155'ün altındadır?

μ = 170σ = 15x = 155

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,15 olasılıkla €5, 0,02 olasılıkla €10 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€5: p = 0,15€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 16 tanesinin toplam kütlesinin 402 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16< 402 kg

P =

6.Normal dağılımZor

A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 64,5 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 51 h, bilinen standart sapma 8 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 64,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 80x̄₂ = 51 hσ₂ = 8 h99%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 5 parsel, ortalama verim 16,5 kg, standart sapma 7 kg. Parsel grubu 2: 12 parsel, ortalama 6,5 kg, standart sapma 1,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 5x̄₁ = 16,5s₁ = 7n₂ = 12x̄₂ = 6,5s₂ = 1,595%t(15) = 2,131

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 48,27, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 48,27s = 4n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 95,8. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 95,8σ = 20n = 8195%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 2,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 20,64

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 145/5 = 29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−1)² + 30² + 9² + (−19)² + (−19)² = 1704

Standart sapma

s = √(1704/4) = 20,64

Cevap

s = 20,64

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: σ = 2,324

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,3 = 3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,3 = 14,4

Varyans

Var(X) = 14,4 − 3² = 5,4

σ = √5,4 = 2,324

Cevap

σ = 2,324

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −0,05 €

Net sonuçlar

G: 4 (p = 0,15), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Beklenen değer

E(G) = 4·0,15 + 9·0,02 − 1·0,83 = −0,05 €

Cevap

E(G) = −0,05 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standartlaştırın

z = (402 − 400)/2 = 1

Olasılık

P = Φ(1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Farkın dağılımı

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartlaştırın

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 16,47 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 64,5 − 51 = 13,5

Standart hata

SE = √(4²/30 + 8²/80) = 1,155

Hata payı

E = 2,576·1,155 = 2,975

Aralık

13,5 ± 2,975 → [10,53, 16,47]

Cevap

üst sınır = 16,47 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 5,649 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (4·7² + 11·1,5²)/15 = 14,72

s_p = 3,836

Hata payı

E = 2,131·3,836·√(1/5 + 1/12) = 4,351

Aralık

10 ± 4,351 → [5,649, 14,35]

Cevap

alt sınır = 5,649 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,595

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Test istatistiği

t = (48,27 − 50)/0,6667 = −2,595

Cevap

t = −2,595

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 100,2

Hata payı

E = 1,96·20/√81 = 4,356

Aralık sınırı

U = 95,8 + 4,356 = 100,2

Cevap

U = 100,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9953

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 147/6 = 24,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 241

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 837,5

Korelasyon katsayısı

r = 241/√(70·837,5) = 0,9953

Cevap

r = 0,9953

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 18,6

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 88/5 = 17,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Regresyon doğrusu

b = −20/10 = −2

a = 17,6 − (−2)·3 = 23,6

ŷ = 23,6 − 2·x

Tahmin

ŷ = 23,6 + (−2)·2,5 = 18,6

Cevap

ŷ = 18,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1