İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 33, 46, 46, 47.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 42,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 5x = 42,5

z =

3.OlasılıkOrta

11 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 11k = 3

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,7k = 1

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 200,4 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,4 mm

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

12 birimlik bir örneklemin ortalaması 39 ve standart sapması s = 10. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 12x̄ = 39s = 1090%t(11) = 1,796

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 30. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 30E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 72,56, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 72,56s = 10n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 75’i, B tedavisi alan 300 hastadan 189’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 75n₁ = 150x₂ = 189n₂ = 300

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 110Σy = 606Σx² = 2510Σy² = 76026Σxy = 13803

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (16,5, 90) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(16,5, 90)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 7,596

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 204/5 = 40,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,8)² + (−7,8)² + 5,2² + 5,2² + 6,2² = 230,8

Standart sapma

s = √(230,8/4) = 7,596

Cevap

s = 7,596

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (42,5 − 50)/5 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: N = 165

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Cevap

N = 165

4.Olasılık

Cevap: P = 1,488 × 10⁻⁵

Binom formülü

P(X = 1) = 12·0,7¹·0,3¹¹ = 12·0,7·1,771 × 10⁻⁶ = 1,488 × 10⁻⁵

Cevap

P = 1,488 × 10⁻⁵

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2119

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

6.Normal dağılım

Cevap: x = 124,7 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 puan

Cevap

x = 124,67 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,185

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Hata payı

E = 1,796·10/√12 = 5,185

Cevap

E = 5,185

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 98

n'yi çözün

n = (1,645·30/5)² = 97,42

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 98

Cevap

n = 98

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,196

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Test istatistiği

t = (72,56 − 75)/1,111 = −2,196

Cevap

t = −2,196

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −2,64

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Örneklem oranları

p̂₁ = 75/150 = 0,5

p̂₂ = 189/300 = 0,63

p̂ = 264/450 = 0,5867

H₀ altında standart hata

SE = √(0,5867·0,4133·(1/150 + 1/300)) = 0,04924

Test istatistiği

z = (0,5 − 0,63)/0,04924 = −2,64

Cevap

z = −2,64

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9777

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 13803 − 110·606/5 = 471

S_xx = 2510 − 110²/5 = 90

S_yy = 76026 − 606²/5 = 2579

Korelasyon katsayısı

r = 471/√(90·2579) = 0,9777

Cevap

r = 0,9777

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,31

Ortalamalar

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 725/6 = 120,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 922,5

Regresyon doğrusu

b = 922,5/157,5 = 5,857

a = 120,8 − 5,857·22,5 = −10,95

ŷ = −10,95 + 5,857·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −10,95 + 5,857·16,5 = 85,69

Artık

e = 90 − 85,69 = 4,31

Cevap

e = 4,31

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1