Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 31, 60, 33, 45, 37.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 107,2'ün üstündedir?
μ = 100σ = 12x = 107,2
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,3, 0,15, 0,3, 0,05
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,15 olasılıkla €10, 0,05 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€10: p = 0,15€100: p = 0,05
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,5 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,5 mm
P =
6.Normal dağılımZor
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
7.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 81,5 ve standart sapması s = 14,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 20x̄ = 81,5s = 14,590%t(19) = 1,729
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 11. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 11E = 499%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 504,6, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 500x̄ = 504,6s = 8n = 25
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 20E = 1,590%
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1785Σxy = 256
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 47) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(3,5, 47)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 11,8
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 206/5 = 41,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−10,2)² + 18,8² + (−8,2)² + 3,8² + (−4,2)² = 556,8
Standart sapma
s = √(556,8/4) = 11,8
Cevap
s = 11,8
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,2743
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Cevap
P = 0,2743
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,51
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,7
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,05 = 4,4
Varyans
Var(X) = 4,4 − 1,7² = 1,51
Cevap
Var(X) = 1,51
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 4,5 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 8 (p = 0,15), 98 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)
Beklenen değer
E(G) = 8·0,15 + 98·0,05 − 2·0,8 = 4,5 €
Cevap
E(G) = 4,5 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartlaştırın
z = (199,5 − 200)/0,5 = −1
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
6.Normal dağılım
Cevap: x = 169 cm
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
x’e geri dönüş
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Cevap
x = 169,03 cm
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 75,89
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Hata payı
E = 1,729·14,5/√20 = 5,606
Aralık
81,5 ± 5,606 → [75,89, 87,11]
Cevap
alt sınır = 75,89
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 51
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·11/4)² = 50,18
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 51
Cevap
n = 51
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,875
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6
Test istatistiği
t = (504,6 − 500)/1,6 = 2,875
Cevap
t = 2,875
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 482
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·20/1,5)² = 481,1
Yukarı yuvarlayın
n = 482
Cevap
n = 482
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9789
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 256 − 15·93/5 = −23
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1785 − 93²/5 = 55,2
Korelasyon katsayısı
r = −23/√(10·55,2) = −0,9789
Cevap
r = −0,9789
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,6
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 250/5 = 50
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 32
Regresyon doğrusu
b = 32/10 = 3,2
a = 50 − 3,2·3 = 40,4
ŷ = 40,4 + 3,2·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 40,4 + 3,2·3,5 = 51,6
Artık
e = 47 − 51,6 = −4,6
Cevap
e = −4,6
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1