İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 33, 30, 41, 18, 52, 42.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 160'ün üstündedir?

μ = 170σ = 10x = 160

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 6 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 6

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 1. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 248,5 ile 255,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,5x₂ = 255,25

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 75%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

6 birimlik bir örneklemin ortalaması 31 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6x̄ = 31s = 299%t(5) = 4,032

E =

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 77,27, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 77,27s = 12n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 59,9’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 59,9σ = 15n = 25α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 22 tahmin eder?

n = 6ŷ = 22

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,71

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 216/6 = 36

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−6)² + 5² + (−18)² + 16² + 6² = 686

Standart sapma

s = √(686/5) = 11,71

Cevap

s = 11,71

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2692

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0,2692

Cevap

P = 0,2692

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,499

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 1,8, Var(X) = 1,36, σ_X = 1,166

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·1,166 = 3,499

Cevap

σ_Y = 3,499

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,8 + 1 = 6,4.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4711

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3

z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05

Aradaki alan

P = Φ(1,05) − Φ(−0,3) = 0,8531 − 0,3821 = 0,4711

Cevap

P = 0,4711

6.Normal dağılım

Cevap: x = 527 h

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

x’e geri dönüş

x = 500 + 0,6745·40 = 526,98 h

Cevap

x = 526,98 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,292

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Hata payı

E = 4,032·2/√6 = 3,292

Cevap

E = 3,292

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Yukarı yuvarlayın

n = 1537

Cevap

n = 1537

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,702

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Test istatistiği

t = (77,27 − 75)/1,333 = 1,702

Cevap

t = 1,702

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 83,5 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 50 + 2,326·3 = 56,98

Gerçek ortalama altında z

z = (56,98 − 59,9)/3 = −0,974

Güç

güç = P(Z > −0,974) = 83,5%

1 − β = 83,5%

Cevap

1 − β = 83,5%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9951

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 686/6 = 114,3

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 458

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3011

Belirlilik katsayısı

r² = 458²/(70·3011) = 0,9951

Cevap

r² = 0,9951

y’deki değişimin yaklaşık %99,51’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 2,852

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 127/6 = 21,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22,5

Regresyon doğrusu

b = −22,5/17,5 = −1,286

a = 21,17 − (−1,286)·3,5 = 25,67

ŷ = 25,67 − 1,286·x

x için çözün

x = (22 − 25,67)/(−1,286) = 2,852

Cevap

x = 2,852

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1