İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 42, 21, 58, 38, 19, 30, 39.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 88'ün üstündedir?

μ = 100σ = 10x = 88

P =

3.OlasılıkOrta

6 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 6k = 4

N =

4.OlasılıkZor

9 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 757,9 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 757,9 g

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 97,5%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 87 h, bilinen standart sapma 11 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 92,5 h, bilinen standart sapma 14 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 100x̄₁ = 87 hσ₁ = 11 hn₂ = 60x̄₂ = 92,5 hσ₂ = 14 h90%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 17E = 0,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 107, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 107s = 12n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 10 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 103,7’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 103,7σ = 10n = 100α = 0,01

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 4,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,41

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 247/7 = 35,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 6,714² + (−14,29)² + 22,71² + 2,714² + (−16,29)² + (−5,286)² + 3,714² = 1079

Standart sapma

s = √(1079/6) = 13,41

Cevap

s = 13,41

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8849

Standartlaştırın

z = −1,2

Standart normal tablo

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Cevap

P = 0,8849

3.Olasılık

Cevap: N = 15

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Cevap

N = 15

4.Olasılık

Cevap: P = 0,7748

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁹ = 0,3874

P(X = 1) = 9·0,1·0,9⁸ = 0,3874

Toplayın

P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748

Cevap

P = 0,7748

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2119

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

6.Normal dağılım

Cevap: x = 191,7 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 178 + 1,96·7 = 191,72 cm

Cevap

x = 191,72 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,481 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 87 − 92,5 = −5,5

Standart hata

SE = √(11²/100 + 14²/60) = 2,116

Hata payı

E = 1,645·2,116 = 3,481

Cevap

E = 3,481 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 3129

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·17/0,5)² = 3128

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 3129

Cevap

n = 3129

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,917

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Test istatistiği

t = (107 − 100)/2,4 = 2,917

Cevap

t = 2,917

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 8,472 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 100 + 2,326·1 = 102,3

Gerçek ortalama altında z

z = (102,3 − 103,7)/1 = −1,374

II. tip hata

güç = P(Z > −1,374) = 91,53%

β = 100% − 91,53% = 8,472%

Cevap

β = 8,472%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,6259

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 255/5 = 51

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 108

Belirlilik katsayısı

r² = 26²/(10·108) = 0,6259

Cevap

r² = 0,6259

y’deki değişimin yaklaşık %62,59’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 11,96

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 87/6 = 14,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44,5

Regresyon doğrusu

b = −44,5/17,5 = −2,543

a = 14,5 − (−2,543)·3,5 = 23,4

ŷ = 23,4 − 2,543·x

Tahmin

ŷ = 23,4 + (−2,543)·4,5 = 11,96

Cevap

ŷ = 11,96

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1