İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 18, 34, 34, 46, 52, 24, 37.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 60'ün üstündedir?

μ = 70σ = 20x = 60

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1

σ =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,15 olasılıkla €25, 0,01 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €5€25: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 167,5 ile 190,6 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,5x₂ = 190,6

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 8,9. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 36E₁ = 8,999%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,4 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,4E = 0,0295%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 80 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 25 olduğu biliniyor. 100 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 86,15. H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ ≠ 80 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 86,15H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 120,3. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 120,3σ = 12n = 6499%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 11) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(3, 11)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,73

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 245/7 = 35

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−17)² + (−1)² + (−1)² + 11² + 17² + (−11)² + 2² = 826

Standart sapma

s = √(826/6) = 11,73

Cevap

s = 11,73

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6915

Standartlaştırın

z = −0,5

Standart normal tablo

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,884

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 2·0,35 + 4·0,3 + 6·0,1 = 2,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,35 + 16·0,3 + 36·0,1 = 9,8

Varyans

Var(X) = 9,8 − 2,5² = 3,55

σ = √3,55 = 1,884

Cevap

σ = 1,884

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −0,25 €

Net sonuçlar

G: 20 (p = 0,15), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Beklenen değer

E(G) = 20·0,15 + 95·0,01 − 5·0,84 = −0,25 €

Cevap

E(G) = −0,25 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8973

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (167,5 − 178)/7 = −1,5

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Aradaki alan

P = Φ(1,8) − Φ(−1,5) = 0,9641 − 0,06681 = 0,8973

Cevap

P = 0,8973

6.Normal dağılım

Cevap: x = 73,42 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 puan

Cevap

x = 73,42 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 13,94

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(36/36) = 1,566

Yeni hata payı

E₂ = 8,9·1,566 = 13,94

Cevap

E₂ = 13,94

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 2305

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,4·0,6/0,02² = 2305

Yukarı yuvarlayın

n = 2305

Cevap

n = 2305

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,01389

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5

z = (86,15 − 80)/2,5 = 2,46

Kuyruk alanı

Φ(2,46) = 0,9931

1 − Φ(2,46) = 0,0069

p-değeri

p = 2·0,0069 = 0,01389

Cevap

p = 0,01389

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 124,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·12/√64 = 3,864

Aralık sınırı

U = 120,3 + 3,864 = 124,2

Cevap

U = 124,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9764

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 512/6 = 85,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 447

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1299

Belirlilik katsayısı

r² = 447²/(157,5·1299) = 0,9764

Cevap

r² = 0,9764

y’deki değişimin yaklaşık %97,64’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −2,55

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 133/5 = 26,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 174

Regresyon doğrusu

b = 174/40 = 4,35

a = 26,6 − 4,35·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 4,35·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 0,5 + 4,35·3 = 13,55

Artık

e = 11 − 13,55 = −2,55

Cevap

e = −2,55

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1