İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 54, 57, 14, 16.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 68 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 20x = 68

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,2, 0,2, 0,35, 0,2

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 4. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,2, 0,05Y = 3X + 4

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 740,2 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 5,1. Aynı verilerden elde edilen %90 aralığın hata payı E₂ nedir?

99%n₁ = 36E₁ = 5,190%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,7 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,05 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,7E = 0,0599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 102,7, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 102,7s = 10n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 20E = 390%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (21,5, 77) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(21,5, 77)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 22,31

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 197/5 = 39,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 16,6² + 14,6² + 17,6² + (−25,4)² + (−23,4)² = 1991

Standart sapma

s = √(1991/4) = 22,31

Cevap

s = 22,31

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (68 − 60)/20 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,161

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,05 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,35 + 5·0,2 = 3,45

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,35 + 25·0,2 = 13,25

Varyans

Var(X) = 13,25 − 3,45² = 1,347

σ = √1,347 = 1,161

Cevap

σ = 1,161

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,732

X’in yayılımı

μ = 2,45, Var(X) = 1,547, σ_X = 1,244

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·1,244 = 3,732

Cevap

σ_Y = 3,732

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·2,45 + 4 = 11,35.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartlaştırın

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: x = 24,31 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 32 + −1,282·6 = 24,31 min

Cevap

x = 24,31 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,257

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/36) = 0,6386

Yeni hata payı

E₂ = 5,1·0,6386 = 3,257

Cevap

E₂ = 3,257

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 558

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,7·0,3/0,05² = 557,4

Yukarı yuvarlayın

n = 558

Cevap

n = 558

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,43

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Test istatistiği

t = (102,7 − 100)/1,111 = 2,43

Cevap

t = 2,43

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 121

n'yi çözün

n = (1,645·20/3)² = 120,3

Yukarı yuvarlayın

n = 121

Cevap

n = 121

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9992

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 396/5 = 79,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1147

Korelasyon katsayısı

r = 214/√(40·1147) = 0,9992

Cevap

r = 0,9992

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,333

Ortalamalar

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 482/6 = 80,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 612

Regresyon doğrusu

b = 612/157,5 = 3,886

a = 80,33 − 3,886·21,5 = −3,21

ŷ = −3,21 + 3,886·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −3,21 + 3,886·21,5 = 80,33

Artık

e = 77 − 80,33 = −3,333

Cevap

e = −3,333

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1