İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 40, 39, 34, 38.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 125'ün üstündedir?

μ = 100σ = 20x = 125

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,15, 0,15

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,4k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,6729 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,6729

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

6 birimlik bir örneklemin ortalaması 35,5 ve standart sapması s = 3,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6x̄ = 35,5s = 3,595%t(5) = 2,571

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 8E = 2,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 200,6, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 200,6s = 8n = 100

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ < 500 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 4 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 498.2’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 500μ = 498,2σ = 4n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 20Σy = 243Σx² = 90Σy² = 11955Σxy = 1007

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 20 tahmin eder?

n = 6ŷ = 20

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,557

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 175/5 = 35

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−11)² + 5² + 4² + (−1)² + 3² = 172

Standart sapma

s = √(172/4) = 6,557

Cevap

s = 6,557

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1056

Standartlaştırın

z = 1,25

Standart normal tablo

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Cevap

P = 0,1056

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,09

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,15 = 1,1

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,15 = 2,3

Varyans

Var(X) = 2,3 − 1,1² = 1,09

Cevap

Var(X) = 1,09

4.Olasılık

Cevap: P = 0,311

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 15·0,4²·0,6⁴ = 15·0,16·0,1296 = 0,311

Cevap

P = 0,311

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,98

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,6729)/2 = 0,8365

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8365 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,98

Cevap

z = 0,98

6.Normal dağılım

Cevap: x = 183,9 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 178 + 0,8416·7 = 183,89 cm

Cevap

x = 183,89 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,674

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Hata payı

E = 2,571·3,5/√6 = 3,674

Cevap

E = 3,674

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 68

n'yi çözün

n = (2,576·8/2,5)² = 67,95

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 68

Cevap

n = 68

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,75

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Test istatistiği

t = (200,6 − 200)/0,8 = 0,75

Cevap

t = 0,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 89,87 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 500 − 2,326·0,5 = 498,8

Gerçek ortalama altında z

z = (498,8 − 498,2)/0,5 = 1,274

Güç

güç = P(Z < 1.274) = 89.87%

1 − β = 89,87%

Cevap

1 − β = 89,87%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9185

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1007 − 20·243/5 = 35

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 11955 − 243²/5 = 145,2

Korelasyon katsayısı

r = 35/√(10·145,2) = 0,9185

Cevap

r = 0,9185

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 3,973

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18,5

Regresyon doğrusu

b = −18,5/17,5 = −1,057

a = 20,5 − (−1,057)·3,5 = 24,2

ŷ = 24,2 − 1,057·x

x için çözün

x = (20 − 24,2)/(−1,057) = 3,973

Cevap

x = 3,973

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1