İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 25, 48, 43, 51, 17, 54, 21.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 107,2'ün altındadır?

μ = 100σ = 12x = 107,2

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9643 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9643

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %70 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

50 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 6,9. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 50E₁ = 6,999%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 32E = 1,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 125,52. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ ≠ 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 120σ = 18n = 36x̄ = 125,52H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 22. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 4σ = 22z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 36 tahmin eder?

n = 5ŷ = 36

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,5

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 259/7 = 37

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−12)² + 11² + 6² + 14² + (−20)² + 17² + (−16)² = 1442

Standart sapma

s = √(1442/6) = 15,5

Cevap

s = 15,5

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7257

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Cevap

P = 0,7257

3.Olasılık

Cevap: σ = 0,8047

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varyans

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Cevap

σ = 0,8047

4.Olasılık

Cevap: P = 0,6974

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Toplayın

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Cevap

P = 0,6974

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,1

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9643)/2 = 0,9821

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9821 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,10

Cevap

z = 2,10

6.Normal dağılım

Cevap: x = 181,6 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

Cevap

x = 181,6 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 10,81

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(50/50) = 1,566

Yeni hata payı

E₂ = 6,9·1,566 = 10,81

Cevap

E₂ = 10,81

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 3021

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·32/1,5)² = 3020

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 3021

Cevap

n = 3021

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,06577

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 18/√36 = 3

z = (125,52 − 120)/3 = 1,84

Kuyruk alanı

Φ(1,84) = 0,9671

1 − Φ(1,84) = 0,0329

p-değeri

p = 2·0,0329 = 0,06577

Cevap

p = 0,06577

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 328

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·22/4)² = 327,4

Yukarı yuvarlayın

n = 328

Cevap

n = 328

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9961

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 303/5 = 60,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 661,2

Korelasyon katsayısı

r = 162/√(40·661,2) = 0,9961

Cevap

r = 0,9961

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,4

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 175/5 = 35

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 25

Regresyon doğrusu

b = 25/10 = 2,5

a = 35 − 2,5·5 = 22,5

ŷ = 22,5 + 2,5·x

x için çözün

x = (36 − 22,5)/2,5 = 5,4

Cevap

x = 5,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1