Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 49, 12, 45, 53, 14, 32, 20.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. 350 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 500σ = 75x = 350
z =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 8
P =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,2 olasılıkla €6, 0,01 olasılıkla €20 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€6: p = 0,2€20: p = 0,01
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 57 ile 85,5 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 85,5
P =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 100 puanσ = 15 puan20%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
16 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 3,3 ve standart sapması 4. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 16d̄ = 3,3sd = 499%t(15) = 2,947
E = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,15 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p ≈ 0,15E = 0,02599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 80 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 149,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 20 mm. Hat 2: 100 parçalık bir örneklemin ortalaması 151,7 mm, bilinen standart sapması 11 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 80x̄₁ = 149,5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 151,7 mmσ₂ = 11 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 14. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,01güç = 90%δ = 4σ = 14zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 101 tahmin eder?
n = 6ŷ = 101
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 17,16
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 225/7 = 32,14
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 16,86² + (−20,14)² + 12,86² + 20,86² + (−18,14)² + (−0,1429)² + (−12,14)² = 1767
Standart sapma
s = √(1767/6) = 17,16
Cevap
s = 17,16
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (350 − 500)/75 = −2
Cevap
z = −2
3.Olasılık
Cevap: P = 0,7674
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Cevap
P = 0,7674
4.Olasılık
Cevap: E(G) = −0,6 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 4 (p = 0,2), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
Beklenen değer
E(G) = 4·0,2 + 18·0,01 − 2·0,79 = −0,6 €
Cevap
E(G) = −0,6 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,768
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05
Aradaki alan
P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768
Cevap
P = 0,768
6.Normal dağılım
Cevap: x = 112,6 puan
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,8
Tablodan z
z ≈ 0,84
Özgün birimlere geri dönüş
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 puan
Cevap
x = 112,6 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 2,947 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 15, t = 2,947
Hata payı
E = 2,947·4/√16 = 2,947
Cevap
E = 2,947 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 1354
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 2,576²·0,15·0,85/0,025² = 1354
Yukarı yuvarlayın
n = 1354
Cevap
n = 1354
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −0,8828
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(20²/80 + 11²/100) = √6,21 = 2,492
Test istatistiği
z = (149,5 − 151,7)/2,492 = −0,8828
Cevap
z = −0,8828
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 160
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((2,326 + 1,282)·14/4)² = 159,5
Yukarı yuvarlayın
n = 160
Cevap
n = 160
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9647
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 118/6 = 19,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46
Syy = Σ(y − ȳ)² = 125,3
Belirlilik katsayısı
r² = −46²/(17,5·125,3) = 0,9647
Cevap
r² = 0,9647
y’deki değişimin yaklaşık %96,47’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 11,1
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 492/6 = 82
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 324
Regresyon doğrusu
b = 324/70 = 4,629
a = 82 − 4,629·7 = 49,6
ŷ = 49,6 + 4,629·x
x için çözün
x = (101 − 49,6)/4,629 = 11,1
Cevap
x = 11,1
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1